1.2 直线的方程-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

1.2 直线的方程 【知识点梳理】 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2．当直线的倾斜角为0°时，直线方程为； 3．当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4．表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1．这个方程由直线上两点确定； 2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3．直线方程的表示与选择的顺序无关． 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．叫做直线在x轴上的截距，叫做直线在轴上的截距． 知识点诠释： 1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令得直线在轴上的截距；令得直线在轴上的截距． 知识点一：直线方程的一般式 关于和的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 【题型归纳目录】 题型一：求直线的点斜式方程 题型二：求直线的斜截式方程 题型三：用两点式求直线的方程 题型四：用截距式求直线的方程 题型五：直线的一般式方程 题型六：判断动直线所过定点 题型七：直线与坐标轴形成三角形问题 题型八：直线方程的综合问题 【典型例题】 题型一：求直线的点斜式方程 例1．（2022·江苏·高二）已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（       ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】解：由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或-1， 故直线方程为或， 即或． 故选：C． 例2．（2022·全国·高二课时练习）经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______． 【答案】 【解析】由题知，直线斜率为， 则直线点斜式方程为： 故答案为： 例3．（2022·全国·高二课时练习）若直线经过点，斜率为，则直线的点斜式方程为______． 【答案】 【解析】由题意可知，直线的点斜式方程为． 故答案为：． 【技巧总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 题型二：求直线的斜截式方程 例4．（2022·全国·高二课时练习）直线倾斜角大小为（       ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】解：将直线化为斜截式方程为， 所以直线的斜率， 所以直线倾斜角大小为． 故选：D． 例5．（2022·全国·高二课时练习）将直线绕点按逆时针方向旋转60°后所得直线方程的斜截式是______． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角是60°， 所以按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为，且过点． 所以其方程为，即． 故答案为：．