3.5 函数的奇偶性-2022年初升高数学暑假衔接教材（新人教A版2019）

§3.5 函数的奇偶性 01课堂先知 知 识 题 型 重 要 度 难 度 奇偶性的定义 ★★★★ ★ 奇偶性的判定 判断函数的奇偶性 ★★★★★ ★★☆ 奇偶性的应用 求参数值 ★★★★ ★★ 解不等式 ★★★★★ ★★★☆ 02知识清单 一．函数奇偶性的定义 若函数的定义域关于原点对称，且满足，则称函数为偶函数；若满足，则称函数为奇函数． 特别提醒：函数的奇偶性的前提是定义域关于原点对称，所以，若函数的定义域没有关于原点对称，则函数不可能有奇偶性． 二．函数奇偶性的判断 1.奇偶性的判定方法 判断方法 要点 次数 通过判断次数来判断函数的奇偶性 奇偶性的定义 若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数 结论 ①奇±奇=奇；②偶±偶=偶；③奇×奇=偶（奇÷奇=偶）；④奇×偶=奇 （奇÷偶=奇）；⑤；⑥；⑦为偶函数；⑧为偶函数 特别提醒：1.判断函数奇偶性的第一步是看定义域是否关于原点对称；2.奇±偶=非奇非偶函数. 2.常用的奇偶函数（需要记忆） 函数类型 函数列举 奇函数 ①；②；③；④ 偶函数 既奇又偶函数 三．函数奇偶性的性质 函数类型 函数性质 奇函数 ①图像关于原点对称；②；③原点左右单调性相同； ④若可为，则 偶函数 ①图像关于轴对称；②；③原点左右单调性相反 四．函数图像变换之对称（添负号） 函数变换 对称 图像关于轴对称（与偶函数关系紧密） 图像关于轴对称 图像关于原点对称（与奇函数关系紧密） 应用说明：函数的对称变换与函数的奇偶性有着紧密的联系，尤其在解决分段函数奇偶性时可以帮助我们快速的解决问题. 应用举例：1.若分段函数在R上为偶函数，当时，，则当时，函数的解析式是？我们可以利用函数的对称变换来解决此类问题，由于函数是偶函数，所以函数的图像关于y轴对称，所以我们将x添负号，可得时的函数解析式为； 2.若分段函数在R上为奇函数，当时，，则当时，函数的解析式是？我们可以利用函数的对称变换来解决此类问题，由于函数是奇函数，所以函数的图像关于原点对称，所以我们将x和y都添负号，可得时的函数解析式为. 03题型剖析 函数奇偶性的定义及判断 题型一 （1）若函数为奇函数，则一定有．（ ）例1 （2）偶函数图象不一定过原点．（ ） （3）若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称．（ ） （4）若函数是奇函数，则函数的图象关于点中心对称．（ ） 判断下列函数的奇偶性：例2 【方法点睛】我们可以通过判断x的指数的奇偶性来判断函数的奇偶性． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 判断下列函数的奇偶性：变1 （1） （2） （3） （4） （5） 1．若函数是偶函数，则的值是_______．例3 2．已知函数是偶函数，且其定义域为，求，的值． 3．已知函数是奇函数，则的值是_______． 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ）变2 A． B． C． D． （多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）变2 A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．若，则函数是奇函数 D．若，则函数是偶函数 判断下列函数的奇偶性：例4 【方法点睛】对于无法通过次数判断的函数，我们可以选择定义法来判断函数的奇偶性． （1） （2） （3） （4） 判断下列函数的奇偶性：变3 （1） （2） （3） （4） 判断下列函数的奇偶性：例5 【易错警示】注意判断函数的定义域是否关于原点对称．所以，第一步应先求出函数的定义域. （1） （2） （3），①；② （4） 判断下列函数的奇偶性：变4 （1） （2）， （3） （4）， 下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）变5 A． B． C． D． 1.若函数是奇函数，是偶函数，则是_____函数；是_____函数；例6 是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数. 2.①