专题1.4 空间向量的数量积运算-重难点题型检测-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.4 空间向量的数量积运算-重难点题型检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，在空间四边形ABCD中，•等于（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．不确定 【解题思路】用、和作基向量，表示出向量的数量积即可得出结论． 【解答过程】解：空间四边形ABCD中，• •（）•（）•（） •••••• ＝0． 故选：C． 2．（3分）若A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足•••0，则△BCD是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【解题思路】由题意知，AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，由勾股定理可求BC、CD、BD的长度，在△BCD中，由余弦定理得B，C，D三个角的余弦值都是正数，可得B，C，D都是锐角，得到△BCD的形状． 【解答过程】解：∵•••0，∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD， 设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BC，CD，BD， △BCD中，由余弦定理得cosB0， 同理可得，cosC＞0，cosD＞0， ∴内角B，C，D都是锐角，即△BCD是锐角三角形． 故选：B． 3．（3分）（2021秋•宣城期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，P为B1C1的中点，则•（　　） A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2 【解题思路】由条件得AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，将，用向量，，表示，代入数量积的公式进行运算可得结果． 【解答过程】解：根据堑堵的几何性质可知，AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC， 因为，（）， 所以（）•[（）]2+4＝6， 故选：A． 4．（3分）已知单位向量与x，y轴的夹角分别为60度，60度，与z轴的夹角为钝角，向量2j﹣k，则（　　） A． B． C．1 D．1 【解题思路】设向量与z轴正向的夹角为α，由cos260°+cos260°+cos2α＝1，求出α的大小，再利用数量积运算求解即可． 【解答过程】解：设向量与z轴正向的夹角为α， ∵向量与x轴正向的夹角为60°，与y轴正向的夹角为60°， ∴cos260°+cos260°+cos2α＝1， 解得cos2α＝1， ∵与z轴的夹角为钝角，∴cosα，∴α＝135°， ∵2j﹣k， 则（2j﹣k）2••2×1×11×1×（）＝1， 故选：C． 5．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有（　　） A． B． C． D．•a2 【解题思路】利用空间向量基本定理、空间向量数量积的运算律以及向量垂直的充要条件，分别求解四个选项中的数量积，即可得到答案． 【解答过程】解：由题意，，故选项A错误； a2，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选：C． 6．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（）2＝32；②•（）＝0；③与的夹角为60°，其中正确命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据空间向量的垂直和异面直线的所成的角即可求出． 【解答过程】解：对于①（）2＝（）2+（）2+（）2+2•2•2•32，故正确， 对于②•（）•0，故②正确， 对于③∵∥，AD1，AC，D1C，分别为面的对角线，∴∠AD1C＝60°，∴与的夹角为120°，故错误， 故选：C． 7．（3分）已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】作出如图的图形，从图形上把各个向量对应的有向线段表示出来，对四个选项进行判别． 【解答过程】解：作出如图的形， 对于选项A，等式左边，由已知条件知⊥，由平行四边形法则知 ||＝||故A正确． 对于选项B，由对选项A的判断，||而，故B正确． 对于选项C，由于三个线段的长度未知，不确定，故C不一定正确． 对于D选项，由线面垂直可得三组向量之间都是垂直的关系，故它们的内积都是0，D正确． 综上知，C不一定正确，故应选C． 8．（3分）（2021秋•北辰区期中）在四面体P﹣ABC中给出以下四个结论，则说法错误的是（　　） A．若，则可知3 B．若Q为△ABC的重心，则 C．若•0，•0，则•0 D．若四面体P﹣ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1 【解题思路】根据向量的线性运算与数量积的公式，逐一对选项进行计算即可． 【解答过程】解：对于A，，则32， 整理得22， 所以2， 故2， 所以3，故A正确； 对于B，由于Q为△ABC的重心， 所以， 所以33， 整理得