专题1.3 空间向量的数量积运算-重难点题型精讲-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.3 空间向量的数量积运算-重难点题型精讲 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型1 数量积的计算】 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【例1】（2021秋•温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【解题思路】先得到四面体ABCD为正四面体，再利用空间向量的数量积运算和线性运算求解即可． 【解答过程】解：∵四面体ABCD，所有棱长均为2， ∴四面体ABCD为正四面体， ∵E，F分别为棱AB，CD的中点， ∴（）•（） ••• 42×1 ＝﹣2． 故选：D． 【变式1-1】（2021秋•沈河区校级期末）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则•的值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，四面体是正四面体，每个三角形是等边三角形，再利用向量的数量积的定义解答即可． 【解答过程】解：∵空间四边形ABCD的每条边及AC、BD的长都为a， ∴四面体是正四面体，所以每个面都是等边三角形， ∵点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点， ∴•（）• ••• a2×（）a2a2a2． 故选：D． 【变式1-2】（2021秋•南海区校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，则的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【解题思路】根据已知条件，结合正方体的性质，以及向量数量积的运算规律，即可求解． 【解答过程】解：由正方体的性质可得，，， 故，， ∵，，， ∴． 故选：B． 【变式1-3】（2022春•南明区校级月考）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为（　　） A．4 B．12 C．8 D．6 【解题思路】利用空间向量的线性运算和数量积运算得到•4，再利用正方体的性质求解． 【解答过程】解：设正方体内切球的球心为G，则GM＝GN＝2， •（）•（）•（）•， 因为MN是正方体内切球的一条直径， 所以，•4， 所以•4， 又点P在正方体表面上运动，所以当P为正方体顶点时，||最大，且最大值为， 所以•4≤8，所以•最大值为8， 故选：C． 【题型2 向量的夹角及其应用】 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 【例2】（2021秋•定远县期末）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，设，，，则，等于（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【解题思路】由，得到，是∠DBA′的补角，由A′D＝A′B＝BD，得∠DBA′＝60°，由此能求出，． 【解答过程】解：∵正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a， 设，，，， ∴，是∠DBA′的补角， ∵A′D＝A′B＝BD，∴∠DBA′＝60°， ∴，120°． 故选：D． 【变式2-1】（2021秋•吉安期末）已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||＝||，且cos，cos，，则sin，的值为（　　） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据cos，cos，和||＝||可得••．故而••（）＝0，得出． 【解答过程】解：∵cos，cos，，∴， ∵||＝||，∴••，∴••（）＝0，∴． ∴sin，sin1． 故选：A． 【变式2-2】（2