专题1.1 空间向量及其线性运算-重难点题型精讲-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1 空间向量及其线性运算-重难点题型精讲 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 4．共面向量 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【题型1 空间向量概念的理解】 【方法点拨】 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 【例1】（2021秋•城关区校级期末）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【解题思路】A．若，，则与所在直线平行或重合； B．向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面； C．根据共面向量基本定理即可判断出； D．利用向量共线定理可知：若，则存在唯一的实数λ，使使或． 【解答过程】解：A．若，，则与所在直线平行或重合，因此不正确； B．向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确； C．根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确； D．若，则存在唯一的实数λ，使使或，因此不正确． 综上可知：只有C正确． 故选：C． 【变式1-1】（2021秋•西夏区校级月考）下列命题正确的是（　　） A．若与共线，与共线，则与共线 B．向量共面就是它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若，则存在唯一的实数λ使得 【解题思路】从向量共线反例判断A，共面向量定理判断B，零向量的定义判断C，共线向量定理判断D．推出正确命题选项． 【解答过程】解：若与共线，与共线，则与共线，如果，与不共线，A不正确． 向量共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线． 零向量没有确定的方向，满足零向量的定义． 若，则存在唯一的实数λ使得，不正确，因为，存在这一条件． 故选：C． 【变式1-2】下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．若向量平行，则所在直线平行 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【解题思路】根据空间中任意两个向量必然共面，可判断A；根据相等向量和相反向量的定义，可判断B；根据向量不能比较大小，可判断C；根据相等向量的概念，可判断D． 【解答过程】解：对于A，若向量平行，则所在直线平行或重合，故A错误； 若，则，的长度相等而方向不存在确定关系，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D． 【变式1-3】（2021秋•福建期中）给出下列命题： ①若空间向量 ②空间任意两个单位向量必相等 ③若空间向量 ④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有 ⑤向量（1，1，0）的模为； 其中假命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】在①中，向量与方向不一