假期作业7 数系的扩充与复数的引人-【快乐假期】2022高二理科数学暑假作业（老教材）

４．A　[假设当n＝k(k∈N∗ )时命题成立,即５k－２k 能被３ 整除．当n＝k＋１时,５k＋１－２k＋１＝５×５k－２×２k＝５(５k －２k)＋５×２k－２×２k＝５(５k－２k)＋３×２k,故选 A．] ５．D　[当n＝k时,左边是共有２k＋１个连续自然数相加, 即１＋２＋３＋􀆺＋(２k＋１),所以当n＝k＋１时,左边是 共有２k＋３个连续自然数相加,即１＋２＋３＋􀆺＋(２k＋ １)＋(２k＋２)＋(２k＋３)．] ６．A　[令n＝１,２,３, 得 １＝３(a－b)＋c, １＋２×３＝３２(２a－b)＋c, １＋２×３＋３×３２＝３３(３a－b)＋c, ì î í ï ï ïï 即 ３a－３b＋c＝１, １８a－９b＋c＝７, ８１a－２７b＋c＝３４． ì î í ï ï ïï 解得a＝１２ ,b＝１４ ,c＝１４． ] ７．解析:f(１)＝１－a１＝１－ １４ ＝ ３ ４ ,f(２)＝(１－a１)(１－ a２)＝f(１)􀅰 １－１９( )＝ ３ ４× ８ ９＝ ２ ３＝ ４ ６ ,f(３)＝(１－ a１)􀅰(１－a２)(１－a３)＝f(２)􀅰 １－１１６( ) ＝ ２ ３ × １５ １６＝ ５ ８ ,由此猜想,f(n)＝ n＋２２(n＋１) (n∈N∗ )． 答案:n＋２ ２(n＋１) (n∈N∗ ) ８．解析:观察不等式左边的分母可知,由n＝k到n＝k＋１ 左边多出了 １(k＋２)２ 这一项． 答案:１ ２２ ＋１ ３２ ＋􀆺＋ １(k＋１)２ ＋ １(k＋２)２ ＞１２－ １ k＋３ ９．证明:(１)当n＝１时,左边＝右边,命题成立; 当n＝２时,左边＝(１＋２)１＋１２( ) ＝ ９ ２＞２ ２＝右边,命 题成立． (２)假设当n＝k(k≥２,k∈N∗ )时,命题成立, 即(１＋２＋􀆺＋k)１＋１２＋ 􀆺＋１k( ) ≥k ２, 则当n＝k＋１时,有左边＝[(１＋２＋􀆺＋k)＋(k＋１)]􀅰 １＋１２＋ 􀆺＋１k( )＋ １ k＋１[ ]＝ (１＋２＋ 􀆺 ＋k)􀅰 １＋１２＋ 􀆺＋１k( )＋(１＋２＋􀆺＋k)􀅰 １ k＋１＋ (k＋１)􀅰 １＋１２＋ 􀆺＋１k( )＋１≥k ２＋k (k＋１) ２ 􀅰 １ k＋１＋１＋ (k＋ １)􀅰 １＋１２＋ 􀆺＋１k( ) ＝k ２ ＋ k２ ＋１＋ (k＋１) 􀅰 １＋１２＋ 􀆺＋１k( )． 因为当k≥２时,１＋１２＋ 􀆺＋１k≥１＋ １ ２＝ ３ ２ , 所以左边≥k２＋k２＋１＋ (k＋１)×３２＝k ２＋２k＋１＋ ３２ ＞(k＋１)２＝右边．所以当n＝k＋１时,命题也成立． 由(１)(２)知,当n≥１时,原命题成立． １０．解:∵f′(x)＝x２－１,an＋１≥f′(an＋１), ∴an＋１≥(an＋１)２－１． ∵函数g(x)＝(x＋１)２－１＝x２＋２x 在区间[１,＋∞) 上单调递增,于是由a１≥１,得 a２≥(a１＋１)２－１≥２２－１, 进而得a３≥(a２＋１)２－１≥２４－１＞２３－１, 由此猜想:an≥２n－１． 下面用数学归纳法证明这个猜想: ①当n＝１时,a１≥２１－１＝１,结论成立; ②假设当n＝k(k≥１且k∈N∗ )时结论成立,即ak≥２k －１,则当n＝k＋１时,由g(x)＝(x＋１)２－１在区间 [１,＋∞)上单调递增知,ak＋１≥(ak＋１)２－１≥２２k－１≥ ２k＋１－１,即n＝k＋１时,结论也成立． 由①、②知,对任意n∈N∗ ,都有an≥２n－１． 即１＋an≥２n,∴ １１＋an ≤１ ２n , ∴ １１＋a１ ＋ １１＋a２ ＋ １１＋a３ ＋􀆺＋ １１＋an ≤ １２ ＋ １ ２２ ＋ １ ２３ ＋􀆺＋１ ２n ＝１－ １２( ) n ＜１． 假期作业七 思维整合室 １．(１)实部　虚部　b＝０　b≠０　a＝０且b≠０　(２)a＝c 且b＝d　(３)a＝c,b＝－d　(４)x轴　y轴　实数　纯虚数 (５)|z|　|a＋bi|　３．(１)①(a＋c)＋(b＋d)i ②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i　(２)z２＋z１ 　z１＋(z２＋z３) 技能提升台 １．C　[z＝－３－２i,对应的点为(－３,－２),在第三象限．] ２．C　[１＋２ii ＝２－i ,其共轭复数为２＋i,即a＋bi＝２＋i,所 以a＝２,b＝１．故选 C．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �