11.3 多边形及其内角和（同步讲义）-2022-2023学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

11.3多边形及其内角和 同步教材划重点 知识点01多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ( 凸多边形 凹多边形 )3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 【点石成金】 (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点02多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 【点石成金】 (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点03：多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 【点石成金】 (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【典例分析】 1．观察下面图形，解答下列问题： （1）观察规律，把下表填写完整： （2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的边数和对角线的条数． 【点拨】（1）过n边形的一个顶点可画出（n﹣3）条对角线，那么过n个顶点可以画出n（n﹣3）条对角线，根据两点确定一条直线，再把所得结果除以2即可求得多边形的对角线的总条数；（2）根据内角和公式可得多边形的边数，把边数代入（1）得到的公式即可求得相应的对角线条数． 【解析】 解：（1）9,14，. （2）设多边形的边数为n． 则（n﹣2）×180=1440， 解得n=10． ∴对角线的条数为：=35（条）． 【总结】主要考查三角形的内角和公式及n边形对角线的条数的规律．根据一个顶点处的对角线条数得到n边形对角线的条数的相应规律是解决本题的难点． 【变式1-1】如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形? 【解析】 解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF. 【总结】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个． 【变式1-2】（1）如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，求∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5的度数； （2）若延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角，则得到n个角的和等于　 　． 【答案】解：（1）如图， ∵∠1=∠B2+∠B4，∠2=∠B1+∠B3， ∵∠1+∠2+∠B5=180°， ∴∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°； （2）若延长凸n边形A1A2…An的各边得n个角， 则得到n个角的和=（n﹣2）•180°﹣n•180°+（n﹣2）•180°=（n﹣4）•180°． 故答案为（n﹣4）•180°． 2.证明： n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 【点拨】先写出已知、求证，再画图，然后证明． 【解析】 已知：n边形A1A2……An， 求证：∠A1+∠A2+……+∠An=（n-2）·180°， 证法一：如图(1)所示，在n边形内任取一点O，连O与各顶点的线段把n边形分成了n个三角形，n个三角形内角和为n·180°，减去以O为公共顶点的n个角的和2×180°(即一个周角)得n边形内角和为n·180°-2×180°-(n-2)·180°． 证法二：如图(2)所示，过顶点A1作对角线，把n边形分成了(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和恰是多边形的内角和，即(n-2)·180°． 方法三：如图(3)所示，在多边形边上任取一点P，连这点与各顶点的线段把n边形分成了(n-1)个三角形，n边形内角和为这(n-1)个三角形内