11.2 与三角形有关的角（同步讲义）-2022-2023学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

11.2与三角形有关的角 同步教材划重点 知识点01三角形的内角 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 【点石成金】 应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形. 【点石成金】 如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形. 知识点02三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 【点石成金】 (1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边； ③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 【点石成金】 三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 【点石成金】 因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典例分析】 1.证明：三角形的内角和为180°. 【解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°. 证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F． 因为DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）， 所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）． 证法3：如图3所示，过A点任作直线，过B点作∥，过C点作∥， 因为∥（已作）． 所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）． 同理∠3=∠4． 又∥（已作）， 所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）． 又∠2+∠3=∠ACB， 所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）． 证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角. 证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角. 【总结】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质. 【变式1-1】适合条件∠A=∠B=∠C的三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【点拨】设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x．根据三角形的内角和是180°，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【解析】 解：设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x． 根据三角形的内角和定理，得 x+x+3x=180，x=36． 则∠C=108°． 则该三角形是钝角三角形,故选B． 【总结】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙． 【变式1-2】如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= 　． 【答案】40°. 解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线， ∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）， =180°﹣2（∠DBC+∠BCD） ∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD）， ∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC） ∴∠BDC=90°+∠A， ∴∠A=2（110°﹣90°）=40°． 2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数． 【点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B