第14讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第14讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 【学习目标】 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 【基础知识】 一、直线与圆的位置关系 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= , 由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2     1     0     几何法  d<r     d=r     d>r     代数法 Δ>0      Δ=0      Δ<0     二、圆的切线 1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线; 2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点; 3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线. 4.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若 斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0. (2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即 可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线). 5.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论 (1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2; (3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D· +E·+F=0. 三、圆的弦长的方法 1.交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解. 2.弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=. (3)几何法:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l= 四、利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法 1.由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关 知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有: ①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率; ②关于x、y的一次式常转化为直线的截距; ③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等. 2.转化成函数解析式,利用函数的性质解决. 3.利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目 标函数,利用三角函数知识求最大(小)值. 五、圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系 外离、外切、相交、内切和内含. 2.两圆的位置关系的判定 (1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2= 0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断. (2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           公共点 个数 0 1 2 1 0 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d与的关系   公切线条数 4     3 2     1 0     3.两圆的公共弦所在直线方程的求法 设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立  ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就是经过两圆交点的直线方程. 故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的方程. 当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程. 当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E