第13讲 圆的方程-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第13讲 圆的方程 【学习目标】 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程 【基础知识】 一、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径 二、圆的标准方程 1.圆心为A(a,b) ,半径为r(r>0) 的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 . 当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点 为圆心,r为半径的圆. 2.圆的标准方程的两个基本几何要素:圆心 和半径分别确定了圆的位置和大 小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了. 三、点与圆的位置关系 圆A的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心A(a,b),半径为r(r>0).设所给点为M(x0,y0),则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 |MA|=r⇔点M在圆A上 点M(x0,y0)在圆A上⇔(x0-a)2+(y0- b)2=r2 点在圆内 |MA|<r⇔点M在圆A内 点M(x0,y0)在圆A内⇔(x0-a)2+(y0- b)2<r2 点在圆外 |MA|>r⇔点M在圆A外 点M(x0,y0)在圆A外⇔(x0-a)2+(y0- b)2>r2 四、求圆的标准方程的方法 1.直接代入法 已知圆心坐标和半径大小,直接代入圆的标准方程即可. (1)利用条件确定圆心C(a,b)及半径长r. (2)利用几何性质,确定圆心C(a,b)及半径长r. ①圆心与切点的连线垂直于圆的切线; ②圆心到切线的距离等于圆的半径长; ③圆的半径长r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2; ④圆的弦的垂直平分线过圆心; ⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与圆心所在直线l的交点即为圆心. 2.待定系数法 (1)根据题意,设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); (2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; (3)解方程组,求出a,b,r的值; (4)将a,b,r代入所设的方程中,即可得到所求圆的标准方程. 五、圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念 (1)当D2+E2-4F>0  时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示以 为圆心,为半径的圆. 2.圆的一般方程在形式上的特点 (1)x2和y2的系数相等且不为0; (2)不含xy项. 六、与圆有关的轨迹问题 1.用直接法求与圆有关的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)列出适合条件P的点M的集合{M|P(M)}; (3)用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 简记为:建系、设点、列式、代换、化简、证明. 直接法求点的轨迹方程的关键是找到一个能体现该动点运动特征的等量关系,再将该等量 关系坐标化并化简,最后得动点的轨迹方程. 2.求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 【考点剖析】 考点一：根据圆的标准方程确定圆的几何性质 例1．（2021-2022学年江苏省扬州市高邮市第一中学高二上学期期末）已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由圆：，得圆，半径为，所以 ，所以点到圆上点的最小距离为.故选C. 考点二：利用圆的几何性质确定圆的标准方程 例2．（2021-2022学年福建省永春第一中学高二下学期期初考试）已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________. 【答案】 【解析】因为和，故可得中点为，又，故所求圆的半径为，则所求圆的标准方程是：. 考点三：圆的一般方程 例3．（2021-2022学年广东省信宜市第二中学高二下学期月考）经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆，，圆心为，所求直线与直线平行， 可设直线方程为，把圆心代入得，解得，故所求直线方程为．故选A. 考点四：利用待定系数法确定圆的方程 例4．（2021-2022学年新疆石河子第二中学高二上学期第一次月考）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】