第10讲 直线的倾斜角与斜率 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第10讲 直线的倾斜角与斜率 【学习目标】 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直 【基础知识】 一、直线的倾斜角 1.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向 与直线l向上的方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角. 2.规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0° .因此,直线的倾斜角α的取值 范围为0°≤α<180°  二、直线的方向向量 1.直线P1P2上的向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量 . 2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线P1P2上的两点,则直线P1P2的一个方向向量的坐标为 三、直线的斜率 1.一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k= tan α    (α≠90°). 2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线没有斜率. 3.过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k= . 4.直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1) ,因 此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量的坐标为 (1,k)   . (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=. 四、两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 图示     对应关系 l1∥l2⇔k1=k2     两直线斜率都不存在⇒ l1∥l2     五、两条直线垂直的判定 类型 斜率都存在 有直线斜率不存在 图示     对应关系 l1⊥l2⇔k1k2=-1     斜率不存在，斜率为0⇒l1⊥l2     【考点剖析】 考点一：求直线的倾斜角 例1．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则， 因为，因此，. 考点二：求直线倾斜角的范围 例2．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即， 结合正切函数的性质，可得．故选B． 考点三：求直线的斜率 例3．经过两点,的直线的斜率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】经过两点,的直线的斜率为：；故选B. 考点四：求直线斜率的范围 例4．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】如下图示， 当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：或. 故选B 考点五：两直线平行问题 例5．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________. 【答案】 【解析】因为直线与直线平行，直线的斜率为， 所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 所以，即直线的倾斜角为 考点六：两直线垂直问题 例6．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值． 【答案】5或2 【解析】因为直线经过点，，且， 所以的斜率存在，设斜率为， 当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直． 当时，，此时直线斜率存在． 由，得．解得． 综上，的值为或． 【真题演练】 1. （2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期开学考试）直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为(       ) A． B． C． D． 2. （2021-2022学年江苏省镇江市第一中学高二上学期期末）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（          ） A． B． C． D． 3. （2021-2022学年江西省南昌市实验中学高二12月月考）经过点、两点的直线的倾斜角为（       ） A．90º B．120º C．135º D．150º 4.（多选）（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中）在下列四个命题中，错误的有（　　） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π] C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 5.（多选）（2021-2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二上学期期中）已知经过点和点的直线与