第16讲 双曲线-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第16讲 双曲线 【学习目标】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质 2.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 【基础知识】 一、双曲线定义 1.平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. (1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时,P点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线； (3)当2a>|F1F2|时,P点不存在． 3.双曲线定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左、右焦点, 若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上. 二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0,b>0) －＝1(a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a,y∈R x∈R,y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0),A2(a,0) A1(0,－a),A2(0,a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝,e∈(1,＋∞),其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0,c>b>0) 【解读】 1. 求双曲线的标准方程一般用待定系数法,用待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算. 2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|－|PF2||＝2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系． 3.双曲线渐近线的说明 (1)随着x和y趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近,但永远没有交点. (2)由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值,但无法确定焦点位置. (3)求渐近线的方程,常把双曲线的方程右边的常数写成0,分解因式即得渐近线方程, (4)如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可． (5)与双曲线－＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示－＝λ(λ≠0)． 4.求双曲线离心率的常见方法 (1)依据条件求出a,c,再计算e= . (2)依据条件建立参数a,b,c的关系式,一种方法是消去b转化成关于的齐次方程,再转化为离心率e的方程求解,另一种方法是利用离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2. 5.求离心率的范围,一般根据条件建立a,b,c的不等式,再转化为关于e的不等式,通过解不等式求得离心率的范围,求解时应找好题中的等量关系或不等关系,构造出关于a,c的齐次式,进而求解.要注意对题目中隐含条件的挖掘,如对双曲线上点的几何特征＋≥2c的运用. 三、直线与双曲线 1.直线与双曲线位置关系的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点. 2.当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点. 特别提醒:利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程. 四、双曲线中的结论 1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 4.若在双曲线（a＞0,b＞0）上,则过的双曲线的切线方程是. 5.若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ,则过作双曲线的两条切线切