2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-2022年初升高数学暑假衔接教材（新人教A版2019）

§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 01课堂先知 知 识 题 型 重 要 度 难 度 一元二次不等式的解法 开口向上 ★★★★ ★ 开口向下 ★★★★ ★ 分式型不等式 ★★★☆ ★☆ 已知解集求参数的值 ★★★☆ ★★☆ 恒成立问题 一元二次不等式的恒成立问题 ★★★★ ★★☆ 区间内的恒成立问题 ★★★☆ ★★★☆ 02知识清单 一．一元二次不等式 1．对于开口向上的二次函数对应的一元二次不等式，解不等式的口诀是__________________________；若开口向下，则_________________________． 2．解分式型不等式的方法是：________________________，需要注意_______________. 【注意】：1．解一元二次不等式都是利用二次函数的图像来理解；2．解一元二次不等式重点是求出两根． 二．二次函数的恒成立问题 理解 方法 恒成立 二次函数图像恒在轴上方 1．开口向上； 2．与轴没有交点（） 恒成立 二次函数图像恒在轴下方 1．开口向下； 2．与轴没有交点（） 恒成立 二次函数图像与轴无交点 【注意】：二次项系数是否为“0”． 三．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注意】：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标；（2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 四．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图像 的根 有两个不相等的实数根（） 有两个不相等的实数根（） 没有实数根 的解集 R 的解集 【注意】：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间；（2）对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 03题型剖析 题型一 解一元二次不等式 解下列不等式：例1 （1） （2） （3） （4） （5） 解下列不等式：变1 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解关于的不等式．例2 设，则关于的不等式的解集为（　　）例3 A． B． C． D． 二次函数y＝x2+（a﹣1）x+1（a＞0）只有一个零点，则不等式ax2﹣8x﹣a≥0的解集为（　　）例4 A．{x|x＜3} B．{x|x≤3} C．{x|x，或x＞3} D．{x|x，或x≥3} 解关于的不等式.变2 设，则关于的不等式的解集为（ ）变3 A． B． C． D． 解关于的不等式.变4 已知关于的不等式.例4 （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）当，且满足，有，求实数k的取值范围. 已知关于的不等式：.变5 （1）当时解不等式； （2）当时解不等式. 题型二 知解求参 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　）例31 A． B． C． D． 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　）变1 A． B． C． D． 已知不等式的解集为，则不等式的解集是（　　）例2 A． B． C． D． 已知不等式的解集为.例3 （1）求b和c的值； （2）求不等式的解集. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）变2 A． B． C． D． 已知二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　）变3 A． B． C． D． 不等式的解集为，则不等式的解集为（　　）变4 A． B． C． D． 题型三 恒成立问题 【方法点睛】一．一元二次不等式在R上的恒成立问题 的方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 二．区间内的恒成立问题 区间内的恒成立问题常用的方法是：参变分离法. 若1.若a<f(x)恒成立，则a<f(x)的最小值；2.若a>f(x)恒成立，则a<f(x)的最大值. 关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）例1 A． B． C． D． 【易错