第02讲 空间向量基本定理（5大考点8种解题方法）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量基本定理（5大考点8种解题方法） ( 考点 考向 ) 一、空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 二、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 三、用空间向量基本定理解决相关的几何问题 1. 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 ( 技巧 方法 ) 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 4.正交基底的三个向量共起点. ( 考点 精讲 ) 考点一 ：空间向量基底概念及辨析 一、单选题 1．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论． 【详解】如图，作平行六面体，，，， 则，，，， 由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面， 因此可以作为空间的基底的有3组． 故选：C． 2．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底； D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：C 二、判断题 3．（2022·全国·高二课时练习）已知向量是空间的一组基，则向量也是空间的一组基；( ) 【答案】正确 【分析】根据空间向量基底的概念判断即可； 【详解】解：因为向量是空间的一组基，所以向量为非零向量，且不共面，因为向量和向量包含在由向量、向量所确定的平面内，所以向量、向量与向量不共面，且向量、向量与向量都是非零向量，所以向量也是空间的一组基； 故答案为：正确 三、解答题 4．（2022·全国·高二课时练习）空间向量，，不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？ 【答案】可以 【分析】根据空间向量的基底的定义，即可求解. 【详解】由题意，空间向量，，不共面，可得向量，，可以构成一个空间基底， 所以其中任意两个向量均不平行. 5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？ 【答案】，理由见解析. 【分析】利用共面向量的基本定理可判断出、、共面，、、共面，然后利用反证法与共面向量的基本定理可证得、、不共面，即可得出结论. 【详解】解：因为，， 故、、共面，、、共面， 假设、、共面，则存在实数、，使得， 所以，，则、、共面，与题设条件矛盾， 故假设不成立，即、、可构成空间向量的一组基底. 考点二：用空间基底表示向量 一、单选题 1．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理求解. 【详解】解：， ， ， ， 故选；A 2．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方