2.4.6 指数函数(培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第2.4章 函数 2.4.6 指数函数 高中要求 1了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理指数幂的必要性； 2理解有理指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算; 3理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点; 4在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 1 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 注 （1）指数函数且中系数为，底数是不为的正实数的常数，指数是变量.注意与幂函数的区别，如是指数函数，是幂函数. （2）指数函数中为什么要限制且呢？ ① 若，则对于的某些值无意义，如，此时取等没意义；其函数图象没明显特点； ② 若或时，函数没研究价值. 2 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【例】画出函数和的图象，说下他们的函数性质. 解 ：在上递增，非奇非偶函数，值域是; ：在上递减，非奇非偶函数，值域是. 与关于轴对称. 3 指数型函数模型 形如，且；，且)的函数称为指数型函数． 【题型1】指数函数的概念 【典题1】已知指数函数的图象经过点，试求和． 解析 设且， 函数的图象经过点，，解得． 又，则，， ，. 点拨 待定系数法求解函数解析式. 变式练习 1.下列函数中是指数函数的是__________(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 答案 ③ 解析 ① 的系数不是，不是指数函数; ② 的指数不是自变量，不是指数函数； ③ 是指数函数； ④ 的底数是不是常数，不是指数函数； ⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数； ⑥ 是幂函数. 故答案：③ 2.若指数函数的图象经过点，求． 答案 解析 设且， 因为函数的图象经过点，代入可得，解得或(舍去)． 故． 【题型二】指数函数的图象与性质 【典题1】如图是指数函数①，②，③，④的图象，则与的大小关系是(　　) A． B． C． D． 解析 设与①②③④的图象分别交于点，如图，则其坐标依次为，，，，由图象观察可得．故选． 【典题2】函数的大致图象是(　　) A． B．C． D． 解析 ， 当时，的图象是将图象先沿轴对称下来，再沿轴向上平移个单位，此时时的图象在轴上方，且为增函数，渐近线为， 只有项满足题意．故选. 点拨 含绝对值的函数可利用转化为分段函数，也可以函数图象的变换画出其函数图象. 变式练习 1.如图是指数函数① ②③ ④的图象，则与的大小关系是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 当底数大于时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于小于时是定义域内的减函数，可知，大于，，大于小于． 又由图可知，即．，即． 与的大小关系是． 故选：． 2.如果，那么函数的图象在(　　) ．第一、二、三象限 ．第一、三、四象限 ．第二、三、四象限 ．第一、二、四象限 答案 解析 ， 的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过， 的图象可看成把 的图象向下平移个单位得到的， 故函数的图象， 经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限， 故选：． 3.函数(是自然底数)的大致图象是(　　) ． ． ． ． 答案 解析 ．根据指数函数的图象与性质可知：应选． 【题型三】指数函数的应用 角度1 比较指数式的大小 【典题1】 设，则(　　) 解析 利用幂的运算性质可得， ，，， 再由是增函数，知． 故选：． 点拨 注意数式的结构，通过构造函数，利用函数单调性比较大小. 变式练习 1.已知，=，=，则的大小关系为(　　) 答案 解析 ，，，则，故选：． 2.已知，．，则这三个数的大小关系为(　　) 答案 解析 根据指数函数的性质可得：函数的底数小于，是减函数， ，，即． 又，， ，所以，故选：． 角度2 求解指数型不等式 【典题1】 已知集合，，则 . 解析 ， ， 集合， 又，. 点拨 利用指数函数的单调性求解不等式. 变式练习 1.函数的定义域是 . 答案 解析 由得，，解得：， 故函数的定义域是. 2.不等式恒成立，则的取值范围是 . 答案 解析 不等式恒成立，即， 亦即恒成立， 则，解得， 故的取值范围是． 角度3 指数型函数综合问题 【典题1】如果函数，