1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 二、空间中直线的向量表示式 1、直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。 （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。 2、空间直线的向量表示式： 直线l的方向向量为a ，且过点A。如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 三、空间中平面的向量表示式 1、平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，我们称其为空间平面ABC的向量表示式。 2、平面的法向量 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量； 过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0 四、空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得 . 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则 . 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数， 使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 五、空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量， 则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 题型一 平面法向量的求法 【例1】已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为，，所以， 因为平面的一个法向量为， 所以， 则，解得，故选：C. 【变式1-1】已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为_______ 【答案】或 【解析】三点 ∴， 令平面ABC的法向量为 可得，即， ∵平面的法向量为单位法向量， ，解得， 故平面的单位法向量是或. 【变式1-2】已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量． 【答案】平面SAB的一个法向量为，平面SDC的一个法向量为 【解析】∵四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD， ∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系， ∵SA＝AB＝BC＝1，， ∴，，，，， 平面SAB的法向量， ，， 设平面SDC的一个法向量， 则，取z＝1， 得平面SDC的一个法向量． 【变式1-3】在正方体中，求证：是平面的法向量． 【答案】证明见解析 【解析】不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 因为，所以． 又，所以， 又因为， 所以平面， 从而是平面的法向量． 题型二 利用向量法证明平行问题 【例2】已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【答案】证明见解析. 【解析】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向， 建立空间直角坐标系． 则、、、、、 、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 【变式2-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【答案】证明见解析 【解析】以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，，，，， ∴，，