1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精练)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【题组1 空间中点的坐标表示】 1、如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的坐标为，为坐标原点，所以， ， 的坐标为. 2、在空间直角坐标系中，已知，，．过作平面于点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】由题意知点，，分别在，，轴正半轴上， 过点作，垂足为， ∵，∴为的中点，连接，则平面， 过点作，垂足为，则平面， 所以点即为点． 由已知得，，∴，， 在中，， ∴， ∴，， ． 3、已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，先建立空间直角坐标系. （1）求各顶点的坐标； （2）若点D在线段PC上靠近点P的三等分点，求点D的坐标. 【答案】（1）答案见解析，（2） 【解析】（1）因为平面ABC，所以，， 又因为，所以建立以点A为原点， 以射线AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示 ： 因为，，， 所以、、、； （2）若D点在线段PC上靠近P点的三等分点， 所以， 设点D的坐标为，则 所以. 4、如图，分别是，的直径，与两圆所在的平面均垂直，是的直径，，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标. 【答案】. 【解析】因为与两圆所在的平面均垂直，，所以平面. 又平面平面，所以. 又是圆O的直径，所以.又， 所以. 所以. 如图所示，以O为坐标原点， 分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则. 5、如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标． 【答案】，，，，，. 【解析】因为正方体的棱长为a， E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点 所以，，，，， 6、三棱柱中，侧面是边长为2的菱形， 交于点侧面，且 为等腰直角三角形．若建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 作平面于点 ，连接，， 则点与点的横纵坐标相同，点竖坐标的值为的长度， 因为平面 平面， 所以平面， 所以和到平面的距离相等． 而平面平面 ， 所以，， 所以为平行四边形， 所以， 所以， 所以为平行四边形． 所以， 所以为平行四边形， 所以． 而在边长为2的菱形中，， 所以． 所以点的坐标为， 而为等腰直角三角形， 所以， 故点的坐标为．故选：B． 【题组2 空间点的对称问题】 1、在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故选：C． 2、在空间直角坐标系中，点与点关于坐标原点对称，则______． 【答案】 【解析】点与点关于坐标原点对称， 则，故. 3、空间直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点为N，则点N的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点关于x轴的对称点为N，所以.故选：A 4、在空间直角坐标系中，若点关于轴的一个对称点的坐标为，则的值( ) A．等于 B．等于 C．等于 D．不确定 【答案】C 【解析】点关于轴的一个对称点的坐标为 根据在直角坐标系中关于轴的对称点特征可得: 解得: ，故选:C. 5、已知，则点关于平面的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于平面的对称点的坐标是，故选：C 6、在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为，选A. 7、若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A､B两点的对称是（ ） A．关于xOy平面对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于坐标原点对称 【答案】D 【解析】点关于xOy的对称点为， 关于z轴的对称点为， 显然两点关于坐标原点对称.故选：. 8、点P’与P关于平画xOy对称，点P’’与P’关于Z轴对称，则点P’’与P关于（ ）对称 A．x轴 B．平面yOz C．原点O D．不是以上答案 【答案】C 【解析】设，根据两次对称求出点