1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 一、空间直角坐标系 在空间选定点和一个单位正交基底 以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴。 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量， 通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面. 空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系. 二、空间一点的坐标表示 在空间直角坐标系中为坐标向量。 给定任一向量，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。 也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作. 空间点对称的特点： 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解。 对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论。 三、空间向量的坐标运算 1、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或 2、向量加减法、数乘的坐标运算 若，，则： ①； ②； ③； 3、向量数量积的坐标运算 若，，则：； 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 4、空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，，则 ①，． ②． 【注意】 （1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 5、空间向量平行和垂直的条件 若，，则 ①，， ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 题型一 空间中点的坐标表示 【例1】已知正方体的棱长为2，若坐标原点O为底面ABCD的中心，射线OA､OB为x轴､y轴的正半轴，z轴垂直于底面.则点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由题得，所以点坐标为. 【变式1-1】如图，正方体的棱长为2，是上的点，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于平面，，故设． 因为，所以，故． 【变式1-2】若空间一点在轴上，则（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】因为空间一点在轴上， 所以，解得；故选：D 【变式1-3】如图，直三棱柱的所有棱长都是，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点的坐标是__________． 【答案】 【解析】，即顶点的坐标是 题型二 空间中点的对称问题 【例2】在空间直角坐标系下，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵关于轴对称的点的坐标不变，坐标变为相反数， ∴关于轴对称的点为.故选：C. 【变式2-1】在空间直角坐标系O-xyz中，点关于xoz平面对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于xoz平面对称的点，坐标互为相反数， 所以关于xoz平面对称的点的坐标为.故选：C 【变式2-2】在空间直角坐标系中，点和点的位置关系是（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于平面对称 D．关于平面对称 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中， 点和点两点坐标，坐标相同，坐标相反， 所以和点关于平面对称，故选：C. 【变式2-3】如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ） A．点的坐标为，5， B．点关于点对称的点为，8， C．点关于直线对称的点为，5， D．点关于平面对称的点为，5， 【答案】ACD 【解析】对A，由图可得，的坐标为，5，，故A正确； 对B，由图，，，设点关于点对称的点为 则 ，解得，故，故B错误； 对C，在长方体中， 所以四边形为正方形，与垂直且平分， 即点关于直线对称的点为，选项C正确； 对D，因为平面，故点关于平面对称的点为， 即，选项D正确； 故选：ACD. 题型三 空间向量的坐标表示 【例3】已知点，，C为线段AB的中点，则向量的坐标为______． 【答案】 【解析】依题意，点，，C为线段AB的中点， 所以C点坐标为，即， 所以向量的坐标为． 【变式3-1】已知点，向量，则点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则向量， 所以， 所以点.故选：D 【变式3-2】设点．若，则点B的坐标为（ ） A． B． C．