1.4.2 空间向量研究距离、夹角问题(精练)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.4.2 空间向量研究距离、夹角问题 【题组1 求点到直线的距离】 1、已知，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以． 设点C到直线AB的距离为d，则故选：D 2、直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为___________. 【答案】 【解析】，直线l的方向向量为， 由题意得点到l的距离 3、已知正方体的棱长为1，在正方体内部，且满足，则点到直线AD的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，， 因为， 所以， 易知， 故点到直线AD的距离.故选：B. 4、在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，得，，， ，， 所以在上的投影为， 所以点到直线的距离为 故选：B 5、鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且是直角三角形，所以. 以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 所以，，，， 则，. 故点到直线的距离. 故点到直线的距离是. 6、在如图所示的多面体中，且.，且，且，平面ABCD，.求点F到直线EC的距离； 【答案】 【解析】因为平面，平面，平面， 所以，且， 因为， 如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 所以，， 所以求点F到直线EC的距离为 . 【题组2 求点到平面的距离】 1、已知平面的一个法向量(3，4，0)，点A(-1，1，1)在内，则P(1，2，3)到的距离为（ ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意，得，又知平面的一个法向量， 则到平面的距离故选：B. 2、在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系. 因为，所以， 所以， 则点到直线的距离 故选：A 3、在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 正三棱柱中，若，点是的中点， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，， ，取，则， 点到平面的距离．故选：A． 4、在长方体中，､，，求直线到平面的距离. 【答案】 【解析】以点为原点，分别以､与的方向为、、轴的正方向， 建立空间直角坐标系. 则､､､､､ ､､， 所以，，， 设平面的一个法向量. 所以所以 令，则， 设直线到平面的距离为，因为， 所以，所以直线到平面的距离为 5、如图，在正三棱柱中，已知，D为的中点，E在上． （1）若，证明：DE⊥CE； （2）若平面CDE，求直线和平面CDE的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：因为，， 由余弦定理， 所以， 又因为平面，平面， 所以， 由于， 故DE⊥平面， 而平面，故DE⊥EC； （2）以C为坐标原点，CA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 此时，，，，， 设， 此时，， 设平面CDE的一个法向量为， 则，即 ， 因为平面CDE，所以， 故， 即，解得， 故 由于平面CDE，直线和平面CDE的距离等于点和平面CDE的距离． 此时，， 取， 所以点和平面CDE的距离， 所以直线和平面CDE的距离为. 6、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____.  【答案】 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)， E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4). ∴=(2，2，0)，=(2，2，0)， =(2，0，4)，=(2，0，4)， ∴， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1