1.4.2 空间向量研究距离、夹角问题(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.4.2 空间向量研究距离、夹角问题 一、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 二、点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 三、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 四、直线与平面所成角 1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。 （2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值。 五、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 题型一 求点到直线的距离 【例1】已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，， ，， ， 到直线的距离为.故选：B. 【变式1-1】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】由题意，，， 的方向向量，， 则点到直线的距离为 .故选：C. 【变式1-2】如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，， 取AC的中点O，则， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点C到直线的距离为：.故选：D 【变式1-3】如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图建立空间直角坐标系，则， 设， 则， ∴动点P到直线的距离为 ，当时取等号， 即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D. 题型二 求点到平面的距离 【例2】已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 则点到平面的距离为 故选：D 【变式2-1】已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 易知， 设平面的法向量， 则， 令，解得， 故点到平面的距离为. 故选：A. 【变式2-2】已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2）， 所以， 设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 所以，故选：C 【变式2-3】如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为___________. 【答案】 【解析】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 由题，则，， 因为､､分别是､､的中点， 所以，，， 则，所以， 所以平面， 所以点E到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 因为，所以， 取，则，， 所以是平面的一个法向量， 又向量，所以点E到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. 题型三 求异面直线所成角 【例3】在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ） A． B．