1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(精练)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【题组1 平面法向量的求法】 1、在正方体中,平面的一个法向量为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，由正方体的性质可得：BD1⊥B1C，BD1⊥AC． ∴BD1⊥平面ACB1． ∴平面ACB1的一个法向量为．故选A． 2、如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是正方形，且， ，， ，，，， ，， 又， ，， 平面的法向量为，则，得，， 结合选项，可得，故选：C. 3、如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： （1）平面ABCD； （2）平面； （3）平面． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为平面， 所以为平面的一个法向量， 所以平面的一个法向量为， （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， （3）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则 所以平面的一个法向量为 4、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量； 【答案】（1，0，2） 【解析】∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD． ∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD． 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥AC． 又底面四边形ABCD为矩形， ∴矩形ABCD为正方形． 建立如图所示的空间直角坐标系． A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），D（0，2，0）． （0，2，0），（﹣2，0，1）， 设平面BPC的法向量为（x，y，z）， 则，即，取（1，0，2）． ∴平面BPC的一个法向量为（1，0，2）． 5、如图在正方体中，E、F分别是棱，的中点.求证：为平面的一个法向量. 【答案】证明见解析 【解析】由题意，以点D为原点，直线，，分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， 可得，，， 所以，， 所以，， 且平面，平面，， 所以平面， 所以为平面的一个法向量. 【题组2 利用向量法证明平行问题】 1、如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角.求证：CM∥平面PAD. 【答案】证明见解析. 【解析】由题意知，CB，CD，CP两两垂直， 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 因为PC⊥平面ABCD， 所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°. 因为PC＝2，所以BC＝2，PB＝4， 所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M， 所以＝(0，－1,2)， ＝(2，3,0)， ＝. 设＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， 由 得 取y＝2，得x＝－，z＝1， 所以＝(－，2,1)是平面PAD的一个法向量. 因为， 所以，.又平面PAD， 所以CM∥平面PAD. 2、如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： （1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1). 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量. 由于＝(0，1，－1)， 则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0， 所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. （2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量， 由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)， 则， 即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量， 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 3、四边形为正方形，平面，，.求证：平面. 【答案】证明见解析. 【解析】如图所示，以为坐标原点，线段的长为单位长度， 为x轴的正方