1.2.2 空间中的平面与空间向量-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.2 空间中的平面与空间向量 知识梳理 1.平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 2.空间中直线、平面平行的向量表示 位置关系 向量表示 线线 平行 设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1=λμ2. 线面 平行 设μ是直线l方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n=0 面面 平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2. 3.用空间向量处理平行或垂直关系 (1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α；n⊥v⇔l∥α，或l⊂α. (2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2；n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合. 4.三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 常见考点 考点一 求平面的法向量 典例1．若向量，，则平面的一个法向量可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案. 【详解】 解：设平面的法向量为，因为向量，， 所以，取，得， 故选：C. 变式1-1．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设平面的法向量为，进而得，再根据为单位向量即可得答案. 【详解】 设平面的法向量为， 则有取，则. 所以．因为， 所以平面的一个单位法向量可以是. 故选：B 【点睛】 本题考查平面的法向量的求法，考查运算求解能力，解题得关键在于掌握单位向量的表示形式,是中档题. 变式1-2．已知平面上三点，，，则平面的一个法向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设平面的一个法向量为，由题意得出，可得出关于、、的等式，对赋值可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】 由已知，， 设平面的一个法向量为，由，可得， 取，可得，， 所以，平面的一个法向量为. 故选：B. 变式1-3．在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设平面的一个法向量为，利用，求出、的值，可得出向量的坐标，然后选出与共线的向量坐标即可. 【详解】 ，，设平面的一个法向量为， 由则，解得，． 又，因此，平面的一个法向量为. 故选：A. 【点睛】 本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 考点二 空间位置关系的向量证明 典例2．如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（       ） A．平面 B．平面 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 对A：由平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断； 对B：若平面，则，这与和不垂直相矛盾，从而即可判断； 对C、D：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由与不是共线向量，且，从而即可判断. 【详解】 解：对A：由长方体的性质有平面平面，又平面，所以平面，故选项A正确； 对B：因为为棱的中点，且，所以与不垂直， 所以若平面，则，这与和不垂直相矛盾，故选项B错误； 对C、D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 因为与不是共线向量，且， 所以与不平行，且与不垂直，故选项C、D错误. 故选：A. 变式2-1．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（       ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线异面，直线平面 D．直线与直线相交，直线平面 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间的平行和垂直关系进行判定. 【详解】 连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直； 由正方体的性质可知，所以平面平面， 又平面，所以直线平面，故A正确； 以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 显然直线与直线不平行，故B不正确； 直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确； 直线与直线异面，不相交，故D