1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 知识梳理 1.点位置向量、直线的方向向量 位置向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量 方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l 2.空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ=<v1，v2>或θ=π-<v1，v2>， 特别地，sin θ=sin<v1，v2>，cos θ=|cos<v1，v2>|;l1⊥l2⇔<v1，v2>= ⇔v1·v2=0. 求异面直线所成角的方法有： （1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角（并证明），然后解三角形求出角； （2）向量法：建立空间直角坐标系，用直线的方向向量的夹角求解异面直线所成的角． 3.两条异面直线的距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，A∈l1，B∈l2，AB⊥l1，AB⊥l2，则称AB为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离. 空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度流程如下： 利用向量共线、向量垂直条件建立方程组，求出公垂线段对应的向量，准确找出公垂线段在图中的位置，运用向量求出公垂线段的长度. 常见考点 考点一 直线的方向向量 典例1．若在直线上，则直线的一个方向向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 【详解】 ∵ 在直线上， ∴ 直线的一个方向向量， 又∵， ∴是直线的一个方向向量． 故选：D． 变式1-1．设直线l1，l2的方向向量分别为，若l1⊥l2，则m等于（       ） A． B．2 C．6 D．10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据方向向量垂直即可求出的值. 【详解】 ∵l1⊥l2，∴，即，解得m=10. 故选：D. 变式1-2．已知点，，，，则直线，的位置关系是（       ） A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 【答案】D 【解析】 【分析】 计算、、的坐标，由空间向量共线定理可证明选项A，C不正确，再证明三个向量不共面即可求证直线，不相交，即可得直线，的位置关系. 【详解】 因为点，，，， 所以，，， 因为不存在实数，使得，所以、不共线， 所以直线，不平行，不重合，故选项A、D不正确； 假设、、三个向量共面， 设，则，此方程组无解， 可得、、三个向量不共面， 所以直线，不相交，所以直线，异面， 故选：D. 变式1-3．已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求出直线的一个方向向量为，再求出向量的模，根据单位向量即可求解. 【详解】 由题意得，直线的一个方向向量为， 则，因此直线的单位方向向量为， 故选：D. 【点睛】 本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题. 考点二 求异面直线的夹角 典例2．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 连接，则可得为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得DE，从而在中求解即可 【详解】 解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中， 因为，而，所以在中，，故， 故选：C． 变式2-1．在直三棱柱中，，D，F，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值； 【详解】 解：如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，设与所成角为，则 故选：A 变式2-2．在四棱锥中，平面，，，，，，则与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，用空间向量法求异面直线所成的角． 【详解】 以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，， 于是，. 设DB与CP所的角为， 则. 故选：A．