第一章 空间向量与立体几何章末检测（能力篇）-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第一章 空间向量与立体几何章末检测（能力篇） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（       ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直 【答案】C 【解析】 【分析】 由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系. 【详解】 平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,， ， 平面与平面的关系是平行或重合． 故选：C． 2．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可． 【详解】 连接ON，则 由题可得 故选：B. 3．已知向量，则与共线的一个单位向量（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设，根据求得实数的值，即可求得单位向量的坐标. 【详解】 设，由已知可得，解得. 因此，或. 故选：B. 【点睛】 结论点睛：与非零向量共线的单位向量为. 4．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：①；②若，则为单位向量；③.其中真命题的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由空间向量平行的条件可判断①；根据向量的模的计算可判断②；由空间向量垂直的条件可判断③，从而可得选项. 【详解】 由可以推出，反之不一定成立，例：、，则， 故①不正确； 当时，，故②不正确； 当时，，即，反之也成立，故③正确. 所以正确命题的个数为：1. 故选：B. 5．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（       ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】B 【解析】 选项，计算得，所以选项不正确； 选项，，所以，所以选项正确； 选项，向量与的夹角是，所以选项不正确； 选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确. 【详解】 选项，由题意可知， 则 ， ∴，所以选项不正确； 选项，，又， ∴，所以选项正确； 选项，，， ∴向量与的夹角是，所以选项不正确； 选项，，， 设与所成角的平面角为， ∴ ，所以选项不正确. 故选：B 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算. 6．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面与平面所成二面角的余弦值为求出的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案 【详解】 解：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以， 设平面的一个法向量为，则 ，取，则， 平面的一个法向量为， 由题意得，解得或（舍去）， 延长，设，连接，交于，延长，交的延长线于，连接，交于，则五边形为截面图形， 由题意求得，，，，，，截面五边形如图所示， 则等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为， 则截面面积为 故选：B 【点睛】 关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为求出，属于中档题 7．已知平面内的，射线与所成的角均为135°，则与平面所成的角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 作出图形，如图，通过分析，可得为与平面所成的角的补角，利用余弦定理可以计算. 【详解】 作出如下图形，令，则，， 取中点，连接，则即为与平面所成的角的补角， 在中，， 在中，， ， ， 与平面所成的角的余弦值是. 故选：B. 【点睛】 本题考查线面角的求法，找出所成角，构造三角形是解题的关键. 8．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出. 【详解】 如图： 由 , , 故选：C 【点睛】 本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、多选题：本题共4小题，