1.2.5 空间中的距离-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.5 空间中的距离 知识梳理 1.空间中两点之间的距离: （1）空间中两点之间的距离指的人是这两个点连线的线段长. （2）设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d=||= 2.点到直线的距离 n0是直线l的单位方向向量，A∈l，则点P到直线l的距离d=. 3.点到平面的距离 一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d=. （1）如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为 （2）如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d=. 4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离d=. 常见考点 考点一 点到线距离的向量求法 典例1．已知点，，，则点A到直线BC的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 计算可得，故，再根据向量的模长公式求出即可得解. 【详解】 由已知得，， 所以， 所以， 所以点A到直线BC的距离是. 故选：B 变式1-1．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为(       ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量投影和勾股定理即可计算. 【详解】 ∵， ∴ 又， ∴在方向上的投影， ∴P到l距离. 故选：C. 变式1-2．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可 【详解】 建立空间直角坐标系，如图， 则，，，所以，， 所以在上的投影为， 所以点到直线的距离. 故选：C. 【点睛】 此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题 变式1-3．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可. 【详解】 由题意知，， 取AC的中点O，则， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点C到直线的距离为：. 故选：D 考点二 异面直线距离的向量求法 典例2．长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积求得结论． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， 设与的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，，即， 又， 所以异面直线与之间的距离为． 故选：D． 变式2-1．如图正四棱柱中，，.动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求. 【详解】 由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度. 如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则点、、、， 所以，，，， 设向量满足，， 由题意可得，解得，取，则，， 可得， 因此，. 故选：. 变式2-2．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可. 【详解】 设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短 设，， 则， ， ，， 即， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 故直线与之间的距离是. 故选：B. 变式2-3．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式，即得解 【详解】 如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系 则 设直线与的公垂线的方向向量为 则 不妨令 又 则异面直线与之间的距离 故选：D 考点三 点到面距离的向量求法 典例3．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（       ） A． B． C． D．