1.2.4 二面角-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.4 二面角 知识梳理 1.二面角的定义 角 二面角 图形 定义 从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间一直线出发两个半平面所组成的图形 构成 边 — 点（顶点）一 边 半平面 一 直线（棱）一 半平面 表示 ∠AOB 二面角α-a-β或α-AB-β 2.利用向量方法求二面角 （1）若二面角α-l-β的平面角的大小为θ，其两个面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|=|cos<n1，n2>|= （2）二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α，β内，各取一条与棱l垂直的直线，则当直线的方向向量的起点在棱上时，两个方向向量的夹角即为二面角的大小. 特别提醒：由于二面角的取值范围是[0，π]，而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定，因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小，需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角，从而求得其大小. 常见考点 考点一 二面角的向量求法 典例1．如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）连接交于点，连接，由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. (1) 证明：连接交于点，连接， 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，则， 平面，平面，因此，平面. (2) 解：因为为等边三角形，为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， . 因为，平面与平面夹角的余弦值为. 变式1-1．如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】 【分析】 （1）证明，原题即得证； （2）以为原点，方向直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. (1) 解：因为，且，，所以， 所以． 因为为正三角形，所以， 又由已知可知为平面四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面． (2) 解：由点在平面上的射影为可得平面， 所以，． 如图，以为原点，方向直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知，1，，，，，，0，，，，． 平面的法向量，0，，所以, 设，，为平面的一个法向量，则 由，得，令，则，， 所以平面的一个法向量， ，所以， 由图象知二面角是钝二面角， 所以二面角的余弦值为. 变式1-2．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证； （2）过点作，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； (1) 证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 (2) 解：过点作，如图建立平面直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，，所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 所以 设二面角为，由图可知二面角为钝二面角， 所以，所以 故二面角的正弦值为； 变式1-3．如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）先根据线面垂直的性质与判定证明，再根据勾股定理证明，进而根据线面垂直得到平面，从而根据面面垂直的判定证明即可 （2） 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再分别求解平面的一个法向量，进而得到面面角的正弦即可 (1) 证明：因为平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以． 又因为，，所以，所以． 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2) 以 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，