1.2.3 直线与平面的夹角-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.3 直线与平面的夹角 知识梳理 1.直线与平面所成的角 （1）定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角,若一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；若一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. （2）利用向量方法求直线与平面所成角 若直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n， 则有sin θ=|cos<a，n>|= 特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 2.最小角定理 （1）线线角、线面角的关系式 如图，设OA是平面α的一条斜线段，O为斜足，B为A在 平面α内的射影，OM是平面α内的一条射线.θ是OA与 OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角. 则有cos θ=cos θ1cos θ2. （2）最小角定理 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 常见考点 考点一 线面角的向量求法 典例1．如图，斜三棱柱中，为正三角形，为棱的中点，平面． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由平面，得，再由，可得线面垂直； （2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角． (1) 在正中，因为为的中点， 所以． 因为平面，平面 所以 因为，，均在平面内， 所以平面 (2) 因为平面．所以，． 即，，两两相互垂直． 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以点，，， 所以，， 从而， 设平面的一个法向量为， 则， 即，令， 则 记直线与平面所成角为． 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 变式1-1．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，点E为BC的中点，△AEB为等边三角形. (1)证明：PB⊥AE； (2)点F在线段PD上且DF=2FP，若二面角F−AC−D的大小为45°，求直线AE与平面ACF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）作出辅助线，证明，由面面垂直得到线面垂直，进而得到，得到平面，求出PB⊥AE；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值；方法二：作出辅助线，得到二面角的平面角，求出各边长，利用等体积法求解点到平面的距离，从而求出线面角的正弦值. (1) 因为点为的中点且为等边三角形， 所以，从而. 取的中点，则四边形为菱形，连接BO， 故，① 又，且为的中点，则， 又平面平面，平面平面，所以平面， 从而② 由①②得：平面， 又平面，故. (2) 解法一：设，作交，由（1）已证平面，从而两两垂直，以点，为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示. 则. 设平面的一个法向量为， 又， 由得 今，则，故， 由平面知为平面的一个法向量. 由二面角的大小为知，解得. 从而为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 从而直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：作交于，作于，连接， 由（1）已证平面，故平面， 又平面，所以， 又，所以平面， 所以为二面角的平面角，由题知. 不妨设，又， 所以，且， 所以. 设点到平面的距离为，则由知， 得，解得. 从而直线与平面所成角的正弦值为. 变式1-2．已知四棱锥中，四边形为菱形，， (1)求证：是等边三角形； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）取的中点，连接、，证明出平面，可得出，可得出，再利用菱形的性质可证得结论成立； （2）证明出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. (1) 证明：取的中点，连接、， 因为，为的中点，则， 因为，，平面， 平面，则，故， 因为四边形为菱形，则，所以，， 因此，为等边三角形. (2) 解：由已知，，则，， 为的中点，所以，， 因为是边长为的等边三角形，则， 因为，则，， 因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，. 因此，与平面所成角的正弦值为. 变式1-3．在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱的中点，且，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】 【分析】 （1）为中点，连接，易得为平行四边形，即知△为等腰三角形，进而有，由等边三角形性质有，根据中位线、平行线的推论知，再根据线面