2.2.1 不等式及其性质-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 知识梳理 1．比较实数大小 （1）如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么，反过来也对． （2）符号表示：⇔； ⇔； ⇔. 2.不等式的性质 （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性： 同向可加性： 异向可减性： （4）可积性： （5）同向正数可乘性： 异向正数可除性： （6）平方法则： （7）开方法则： （8）倒数法则： 3.不等式的证明方法 （1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． （2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． （3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 常见考点 考点一 由不等式的性质比较大小 典例1．若，，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接利用不等式的基本性质，结合特殊值法，逐一进行判断，即可得到结论. 【详解】 解：对于AB，∵， ∴， ∵， ∴，即，故A正确，B错误， 对于CD，令，，，，满足，，但，故CD错. 故选：A. 变式1-1．若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合不等式的性质，差比较法确定正确选项. 【详解】 A，，但，所以A错误. B，，但，所以B错误. C，，C正确. D，当时，不等式，所以D错误. 故选：C 变式1-2．若，则下列不等关系中，不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用不等式的基本性质和取特殊值法，即可得到正确选项． 【详解】 解：由不等式的基本性质可得，若，则，，，故A，B，D正确； 若，取，，则，此时，故C错误． 故选：C． 变式1-3．若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据不等式的性质，通过举例，可判定A、B、C不正确，根据不等式性质，即可得到D是正确的. 【详解】 详解：当时，满足，此时，所以A、B、C不正确； 因为，所以， 故选：D. 考点二 作差法比较大小 典例2．设，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用作差比较法即可判断与的大小关系. 【详解】 解：∵， ∴， 故选：A． 变式2-1．已知为不全相等的实数，，那么与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用作差比较法，结合配方法进行判断即可. 【详解】 因为， 所以当为不全相等的实数，有，即， 故选：A 变式2-2设，，则有（ ） A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q 【答案】B 【分析】 利用作差法可判断两者的大小关系. 【详解】 ，故， 故选：B. 变式2-3．已知，下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 运用作差法比较代数式的大小，最后运用配方法化简代数式即可得出结果. 【详解】 根据题意， 选项D正确，选项ABC错误. 故选：D. 考点三 利用不等式求取值范围 典例3．已知，，则取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】 由已知条件可得，故. 故选：D. 变式3-1．已知，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求出，，即得解. 【详解】 由题得，， 所以. 故选：B 变式3-2．若，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据不等式的性质计算可得； 【详解】 解：因为，， 所以，即， 故选：D 变式3-3．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围. 【详解】 设， 所以，解得：，， 因为，，所以， 故选：A. 考点四 不等式的证明：综合法、分析法、反证法 典例4．已知a，b，c都是正实数，，用三种方法证明：. （1）分析法； （2）综合法； （3）反证法. 【答案】 （1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】 （1）分析法、依次找出使结论成立的充分条件即可； （2）直接利用作差法证明； （3）假设结论不成立，可得，由此推出与已知矛盾的不等式即可. （1） 证明： ，b，c都是正实数，则要证，需要证， 只需证，也就是证，与已知可得该式成立，； （2） 证明：因为， ，b，c都是正实数，， ，，即，； （3） 证明：假设不成立，即，则，即， ，，这样已知矛盾，故假设错误，. 变式4-1．（1）用综合