2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第二章 等式与不等式 2.1 等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识梳理 1．一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式． （1）当时，方程的解集为{，}； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为． 2．一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则，． 常见考点 考点一 一元二次方程的解集 典例1．求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）（2）（3） 【分析】 直接利用十字相乘法分解因式，再解方程． 【详解】 解：（1），原方程化为，解得或，所以原方程的解集为. （2），原方程化为，解得或，所以原方程的解集为. （3），原方程化为，解得或，所以原方程的解集为. 【点睛】 本题主要考查十字相乘法分解因式，考查一元二次方程的解法，属于基础题． 变式1-1．解下列一元二次方程： （1）； （2）. 【答案】（1）（2）当时，原方程的解集为，当时，原方程的解集为 【分析】 直接利用十字相乘法解方程，写解集时注意元素的互异性． 【详解】 解：（1）原方程化为，解得或， 所以原方程的解集为. （2）原方程化为，解得或， 当时，原方程的解集为，当时，原方程的解集为. 【点睛】 本题主要考查十字相乘法解一元二次方程，属于基础题． 变式1-2．方程的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意得到，解得或，即可求解. 【详解】 由方程，可得方程，解得或， 所以或，即方程的解集为. 故选：C. 变式1-3．一元二次方程解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 将一元二次方程因式分解后，求得方程的解集. 【详解】 ，即，所以或， 解得，. 故选:C. 【点睛】 本小题主要考查提公因式法求一元二次方程的解集，属于基础题. 考点二 根据一元二次方程根的情况求参数 典例2．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】 直接根据，即可得答案； 【详解】 由题意得：， 故答案为：. 变式2-1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】 首先根据题意得到，再解方程组即可. 【详解】 因为方程有两个不相等的实数根， 则，解得：且 故答案为： 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的情况，属于简单题. 变式2-2．已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】 由二次项系数非零及两根之积小于0，可得关于m的不等式组，解之即可. 【详解】 由题意知，二次方程有一正根和一负根， 得，解得. 故答案为： 变式2-3．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围. 【答案】或 【分析】 根据方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，由求解. 【详解】 要使原方程有两个负实根，必须满足： ，即 ， 所以， 解得-2≤k<-1或<k≤1. 所以实数k的取值范围是k-2≤k<-1或<k≤1. 考点三 根与系数的关系 例3．若关于x的方程的两根分别是，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】 由韦达定理可得，然后，即可算出答案. 【详解】 因为是方程的两根，所以 所以 故选：C 变式3-1．关于x的方程的两个根为，，则______． 【答案】3 【分析】 利用韦达定理求出两根关系即可求出. 【详解】 由题意得，，所以． 故答案为：3. 变式3-2．设m､n是方程的两个实数根，则的值为___________. 【答案】1000 【分析】 由题意，结合韦达定理，转化原式为，即得解 【详解】 由题意，m､n是方程的两个实数根 又 则 故答案为：1000 变式3-3．若方程的两个实根为、，则的值为______． 【答案】10． 【分析】 由根与系数的关系求解． 【详解】 由已知，， 所以． 故答案为：10 考点四 利用根与系数的关系求参数 例4．已知一元二次方程的两实根为、，且，求实数的值. 【答案】 【分析】 转化，结合韦达定理以及判别式，即得解 【详解】 由题意，一元二次方程的两实根为、 故 解得或 且 故 即 或（舍去） 故实数的值为 变式4-1．关于的方程有两个实数根． (1)若，且方程的两根为和，求的值． (2)若方程两根的平方和为11，求实数的值． 【答案】(1)3；(2)1． 【分析】 (1)由题意结合韦达定理即可求得代数式的值；(2)由题意结合韦达定理和方程的判别式即可求得实数的值． 【详解】 (1)当时，方程即， 由韦达定理可得：，， 则． (2)根据题意设方程的两根为，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或﹣3(舍去)．