2.1.1 等式的性质与方程的解集-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第二章 等式与不等式 2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 知识梳理 1.等式的性质： （1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立 （2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 用符号语言和量词表示上述等式的性质： 如果a=b，则对任意c，都有； 如果a=b，则对任意不为零的c，都有. （3）等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为减去、除以，结论仍成立. 2.恒等式 （1）（平方差公式） （2）（两数和的完全平方公式） （3）恒等式：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立. 3.方程的解集 方程的解集：一般地，把一个方程所有解组成的集合，称为这个方程的解集. 常见考点 考点一 等式的性质 典例1．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】 取，可判断A；或，可判断B；取，可判断C；利用等式的性质，可判断D 【详解】 选项A，当时，显然不成立； 选项B，如果，那么或，显然不成立； 选项C，当时，无意义，不成立； 选项D，如果，则，故，即，成立 故选：D 变式1-1．下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C．若，则a=b D．若x=y，则 【答案】D 【分析】 利用等式的性质分别对各选项逐一分析判断并作答. 【详解】 对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确； 对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确； 对于选项C，由等式的性质知，若，则a=b，C正确； 对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则的前提条件为a≠0，D错误． 故选：D 变式1-2．下列变形错误的是（ ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】B 【分析】 A．等式两边同时加上或减去一个相同数，等号保持不变，据此分析； B．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析； C．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析； D．等式两边同时乘以一个数，等号保持不变，据此分析. 【详解】 A、，两边都加，得，故A正确； B、时，两边都除以无意义，故B错误； C、因为，方程两边同除以，得，故C正确； D、两边都乘以，故D正确； 故选：B． 变式1-3．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】 A.由时判断；B.由等式的性质判断；C.由时判断；D.由，得到或判断. 【详解】 如果，当时，那么不成立，故A错误； 如果 ，由等式的性质知，故B正确； 如果当时，那么 不成立，故C错误； 如果，那么或，故D错误. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查等式的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 考点二 恒等式 典例2．下列等式中，属于恒等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 等式两边对任意使式子有意义的成立，依次验证即可 【详解】 选项A，只有时，等式成立，故不是恒等式，A错； 选项B，对任意成立，B对； 选项C，只有时，等式成立，故不是恒等式，C错； 选项D，，故不是恒等式，D错 故选：B 变式1-1．（1）因式分解：-6x2+5x-1； （2）因式分解：4x(x-a)+2y(a-x)+6(x-a)． 【答案】（1）-(2x-1)(3x-1)；（2）2(x-a)(2x-y+3). 【分析】 （1）先提取-1，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）先变形，再提取公因式即可． 【详解】 （1）-6x2+5x-1=-(6x2-5x+1)=-(2x-1)(3x-1)； （2）4x(x-a)+2y(a-x)+6(x-a)=4x(x-a)-2y(x-a)+6(x-a)=2(x-a)(2x-y+3)． 变式1-2．将下列各式因式分解： （1） （2） （3） 【答案】答案见解析. 【分析】 （1）利用十字相乘法分解因式； （2）利用十字相乘法分解因式； （3）利用十字相乘法分解因式得原式=，再化简即得； 【详解】 ； ； (3) . 【点睛】 本题主要因式分解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 变式1-3．把下列各式因式分解 （1）6m2－5mn－6n2； （2）20x2＋7xy－6y2； （3）2x4＋x2y2－3y4； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】 按照“十字相乘法”对各小题进行因式分解，对于（3）再结合平方差公式即可. 【详解】 （1）； （2）； （3）；