2.2.4 均值不等式及其应用-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 知识梳理 1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数，数称为的算术平均值；数称为的几何平均值． 2．均值不等式 如果都是正数，那么，当且仅当时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。 二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定 三等：必须验证等号成立的条件。 4.均值不等式相关拓展推式： （1） （2） （3） （4） 常见考点 考点一 均值不等式求和的最值 典例1．二次函数的最小值为0，则的最小值为______． 【答案】1 【分析】 根据题意可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】 由二次函数的最小值为0， 则，解得， 所以， 当且仅当时取等号， 故答案为：1 变式1-1．已知，，，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】 把代入，再用基本不等式即可. 【详解】 ，，，， 当且仅当时取等. 故答案为：4 【点睛】 本题考查基本不等式求最值，主要考查“1”的妙用，属于基础题型. 变式1-2．函数y=1-2x-(x<0)的最小值为_______. 【答案】1+2 【分析】 因x<0，则-2x与是二正数，利用基本不等式求解即得. 【详解】 因为x<0，所以y=1-2x- =1+(-2x)+≥1+2=1+2，当且仅当x=-时取等号，故y的最小值为1+2. 故答案为：1+2 变式1-3．当时，的最小值为______. 【答案】 【分析】 将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】 ，，由基本不等式得. 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 考点二 均值不等式求积的最值 典例2．已知，，，则的最大值是___________. 【答案】50 【分析】 根据给定条件利用基本不等式求解即得. 【详解】 因，，，则有，当且仅当时取“=”， 由且解得：或， 于是得当或时， 所以的最大值是50. 故答案为：50 变式2-1．已知，，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】 将所求式子化简，进而利用基本不等式即可得到答案. 【详解】 因为，，，所以， 所以，当且仅当时取“=” 故答案为：. 变式2-2．若、，，则的最大值为______. 【答案】 【分析】 在等式中利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】 、，由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求积的最大值，利用基本不等式要确保“一正、二定、三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题. 变式2-3．已知，求： （1）的最大值； （2）的最大值． 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）直接应用基本不等式即可求出的最大值； （2）把代数式进行变形，然后直接应用基本不等式即可求出的最大值． 【详解】 （1），（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值为； （2），（当且仅当时取等号），所以的最大值为. 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用，代数式的恒等变形是解题的关键. 考点三 均值不等式“1”的妙用求最值 典例3．若正数满足，则的最小值是（ ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】 利用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件. 【详解】 ，当且仅当时等号成立， ∴的最小值是5. 故选：C 变式3-1．已知，，，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】 根据题意，， ∴，当且仅当且时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D． 变式3-2．已知实数，，则的最小值为（ ） A．100 B．300 C．800 D．400 【答案】D 【分析】 应用“1”的代换，将目标式转化为，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】 由， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为400. 故选：D 变式3-3．已知，且，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D．9 【答案】C 【分析】 利用基本不等式“1”的代换求的最小值即可. 【详解】 由题意，，当且仅当时等号成立. 故选：C 巩固练习 练习一 均值不等式求和的最值 1．若，，则的最小值是（ ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】 利用基本不等式可求出和的最小值，相加可得出结果. 【详解】 由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求和式的最小值，利用基本不等式求最值时也要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查计算能力，属于基础题. 2．已知，那