2.2.3 一元二次不等式的解法-2022-2023学年高一数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第一册)

第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法 知识梳理 1．一元二次不等式的解法： （1）图像法 设，方程的判别式 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 的图像 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 （2）因式分解法 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 常见考点 考点一 解不含参数的一元二次不等式 典例1．求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】 （1）或； （2） （3） （4）无解 （5）或； （6）R 【分析】 利用一元二次不等式的解法求解. （1）解：， 解得或， 所以不等式的解集是或； （2）由，得， 即，解得， 所以原不等式的解集为：； （3）不等式的相应方程的两个根为，， 则不等式的解集为； （4）不等式，即为， 所以原不等式无解； （5）不等式即为， 则，解得或， 所以原不等式的解集为或； （6）其相应方程的判别式为， 所以不等式的解集为R； 变式1-1．求下列不等式的解. （1） （2） 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）直接解一元二次不等式即可 （2）将分式不等式转化为整式不等式求解 （1）由，得，解得， 所以不等式的解集为 （2）由，得，， 所以，且，解得 所以原不等式的解集为 变式1-2．求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）. 【分析】 （1）利用二次不等式的解法解之即可； （2）将原不等式变形为，利用二次不等式的解法解之即可； （3）将原不等式变形为，即可得出原不等式的解集； （4）计算出，可得出原不等式的解集. 【详解】 （1）原不等式即为，解得， 故原不等式的解集为； （2）将原不等式变形为，即，解得或， 故原不等式的解集为或； （3）将原不等式变形为，解得，故原不等式的解集为； （4）对于不等式，，故原不等式的解集为. 变式1-3．解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）或，（2）或，（3）或，（4） 【分析】 利用一元二次不等式的解法逐个求解即可 【详解】 （1）由，得，解得或， 所以不等式的解集为或， （2）由，得，， 解得或， 所以不等式的解集为或， （3）由，得，解得（舍去）或， 得或， 所以不等式的解集为或， （4）由，得，则， 得或（舍去）， 所以， 所以不等式的解集为 考点二 解含参数的一元二次不等式 典例2．已知常数a∈R，解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】 不等式化为，讨论，和可求解. 【详解】 ∵，，即， 令，解得，， ①当时，解集为或； ②当时，，解集为且； ③当时，，解集为或. 综上所述：当a>0时，不等式的解集为或； 当a=0时，不等式的解集为且； 当a<0时，不等式的解集为或. 变式2-1．解关于x的不等式：. 【答案】 【分析】 先将原不等式移项，因式分解，然后将分成等种情况，根据一元二次不等式对应一元二次方程的根的情况，求得不等式的解集. 【详解】 移项，将不等式变为. 分解因式，得. （1）当时，，∵，、 ∴. （2）当时，，∴. （3）当时，. ①当时，∵， ∴. ②当时，. ③当时，∵， ∴. 【点睛】 注意解含有参数的一元二次不等式时，通常需对参数进行分类讨论.分类讨论的因素一般有：①方程是否有实数根，②二次项系数的符号（抛物线的开口方向），③两个根的大小关系等.这些因素都会影响不等式的解集. 变式2-2．解关于x的不等式：. 【答案】当时，；当时，解集为空集；当时，. 【分析】 对分成三种类型，根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】 原不等式等价于. 当时，，故原不等式的解集为. 当时，原不等式为，解集为空集. 当时，，故原不等式的解集为. 【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 变式2-3．已知,解关于的不等式:. 【答案】见解析 【分析】 因式分解可得，对分类讨论可得. 【详解】 原不等式等价于， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上可得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法，含有参数的不等式求解时，要注意对参数分类讨论，分类时要不重不漏，侧重考查分类讨论的数学思想. 考点三 由一元二次不等式的解确定参数 典例3．关于x的不等式的解集是，求实数a的值． 【答案】． 【分析】 易知