第01讲 空间向量及其运算（6大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 空间向量及其运算（6大考点） ( 考点 考向 ) 一、空间向量的有关概念 1．空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或． 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 二、空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 a＋b 减法 a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a． b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 三、共线问题 共线向量： （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa． 四、向量共面问题 共面向量： （1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b． （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)，使或对空间任意一点O，有． 五、空间向量数量积的运算 空间向量的数量积： （1）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0． （2）常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0． ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． ③cos〈a，b〉＝． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 六、垂直问题、夹角问题、距离问题 当时，．夹角公式： ，向量的模： ( 技巧 方法 ) 1.解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 （1）关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． （2）注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1． ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 2.空间向量加法、减法运算的两个技巧： （1）巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． （2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 3.利用数乘运算进行向量表示的技巧 （1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． （2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 4.证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． （1）存在实数λ，使成立． （2）对空间任一点O，有 (t∈R)． （3）对空间任一点O，有 (x＋y＝1)． 5.解决向量共面的策略： （1）若已知点P在平面ABC内，则有或 ，x＋y＋z＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 6.在几何体中求空间向量的数量积的步骤： （1）首先将各向量分