1.5 全称量词与存在量词-【初升高暑假衔接】2022年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

1．5　全称量词与存在量词 知识点一　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点二　含量词的命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一、全称量词与全称命题 命题点1 判断全称命题的真假 1．判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2）； （3）对每一个无理数，也是无理数. 【答案】（1）假命题，（2）真命题，（3）假命题 【详解】 （1）因为2是素数，而2是偶数，所以所有的素数都是奇数为假命题， （2）因为对于任意实数，都有，所以，所以此命题是真命题， （3）若，则为有理数，所以此命题是假命题， 命题点2 根据全称命题的真假求参数 2．（多选）给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【详解】由于命题为假命题，所以命题的否定：，是真命题. 当时，则，令，所以选项A正确； 当时，则，令，所以选项B正确； 当时，则，，不成立，所以选项C错误； 当时，则，，不成立，所以选项D错误. 故选：AB 题型二、存在量词与特称命题 命题点1 判断特称（存在性）命题的真假 1．判断下列命题的真假： （1） ； （2）； 【答案】（1）真命题；（2）假命题. 【详解】（1）由，得， 即，解得或， 故命题为真； （2）由，得， 即，解得或， 故时，不成立， 故是假命题. 命题点2 根据特称（存在性）命题的真假求参数 2．命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】因为命题“”为真命题， 所以方程有2不等实根， 故，解得或， 故答案为： 题型三、含有一个量词的命题的否定 命题点1 全称命题的否定及其真假判断 1．已知命题，，则（       ） A．命题，为假命题 B．命题，为真命题 C．命题，为假命题 D．命题，为真命题 【答案】D 【详解】显然当时不满足，故命题，为假命题， 所以，为真命题， 故选：D． 命题点2 特称命题的否定及其真假判断 2．已知命题：，或，则（       ） A．：，或 B．：，且 C．：，且 D．：，或 【答案】B 【详解】因为命题：，或， 故可得：，且. 故选：B. 命题点3 含有一个量词的命题的否定的应用 3．（多选）下列说法正确的是（       ） A．命题“，”的否定是“，” B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“”的必要而不充分条件 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】BD 【详解】A.命题“，”的否定是“，”，故错误； B.命题“，”的否定是“，”，正确； C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误； D.关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确， 故选：BD. 命题点4 根据全称或特称命题及命题的否定的真假求参数 4．已知：，，：，． （1）写出命题的否定；命题的否定； （2）若和至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）：，；：，；（2）. 【详解】（1）：，； ：，． （2）由题意知，真或真， 当真时，， 当真时，，解得， 因此，当真或真时，或， 即． 1．判断下列全称量词命题的真假，并说明理由． （1）时，则； （2）任意一个实数乘以都等于它的相反数； （3）对任意实数，，，关于的方程都有两个实数解． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析 【详解】对于（1），若，则必有，（1）为真命题．． 对于（2），根据相反数的定义，得（2）是真命题． 对于（3），当时，关于的方程为，此时该方程至多有一个实数解，所以（3）为假命题． 2．若命题“，”是真命题，则实数k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时显然恒成立， 当时要使命题为真，则： 可得；而时不可能恒成立， 综上，k的取值范围是. 故选：B 3．判定下列存量量词命题的真假： （1）； （2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （3）是无理数}，是无理数. 【答案】（1）真；（2）真；（3）真 【详解】 （1）当时，成立，故（1）为真命题； （2）至少有一个整数例如1，它既不是合数