1.2 空间向量基本定理-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2　空间向量基本定理 【考点梳理】 考点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 考点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 考点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 考点三　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点三　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【题型归纳】 题型一：空间向量基底概念 1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（       ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 2．（2021·云南师大附中高二期中）已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（       ） A． B． C． D． 3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（       ） A． B． C． D． 题型二：空间基底表示向量 4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ） A． B． C． D． 5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体中，，点在上，且为中点，则（       ） A． B． C． D． 6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（       ） A． B． C． D． 题型三：空间向量基本定理判断共面 7．（2022·全国·高二）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（       ） A． B． C． D． 8．（2022·全国·高二）对空间任一点O和不共线三点A､B､C，能得到P､A､B､C四点共面的是（       ） A． B． C． D．以上都错 9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点P，Q，R，S共面的是（       ） A． B． C． D． 题型四：空间向量共面求参数 10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（       ） A．－1 B．0 C．1 D．－6 11．（2022·江苏·高二课时练习）已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（       ）． A． B．1 C． D．2 12．（2021·山东省实验中学高二期中）已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（       ） A． B． C． D． 题型五：空间向量基本定理的应用 13．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数使得，且，则的最小值为（       ） A． B．8 C． D． 14．（2022·安徽蚌埠·高二期末）在下列命题中正确的是（       ） A．已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 B．若所在的直线是异面直线，则不共面 C．若三个向量两两共面，则共面 D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面 15．（2021·吉林·长春市第二十九中学高二）已知、、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、、一定共面的是（       ） A． B． C． D． 题型六：空间向量基本定理 16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知是平行六面体． (1)化简； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值． 17．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）如图，已知正方体.点是上底面的中心，取 为一个基底，在下列条件下，分别求的值. (1); (2). 【双基达标】 一、单选题 18．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任