1.1.2 空间向量的数量积运算-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2空间向量的数量积运算 【考点梳理】 考点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 考点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 考点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型归纳】 题型一：空间向量的数量积的运算 1．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（       ）． A．6 B． C．3 D． 2．如图，在平行六面体中，，，则（       ） A．1 B． C．9 D．3 3．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ①；②；③；④. 其中正确的个数为（       ） A． B． C． D． 题型二：求空间向量的数量积 4．如图，在平行六面体中，，，，则（       ） A．12 B．8 C．6 D．4 5．如图，已知正方体，设，，，则（       ）. A． B． C． D． 6．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（       ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模） 7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（       ） A． B． C． D． 8．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（       ） A． B． C． D． 9．在平行六面体中，，，，，则（       ） A． B． C．0 D． 题型四：空间向量的数量积的综合 10．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设． (1)求；(2)求． 11．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求: (1)的长;(2)直线与所成角的余弦值. 12．平行六面体， (1)若，，，，，，求长； (2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值． 【双基达标】 一、单选题 13．四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（       ） A． B． C． D． 14．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ） A．1 B． C． D． 15．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（       ） A． B． C． D． 16．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（       ） A．5 B． C． D． 17．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（       ） A． B． C． D． 18．如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（       ） A． B． C．或 D．3或 19．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（       ） A． B． C． D． 20．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（       ） A． B．3 C． D．2 21．如图，在单位正方体中，设，，，求： (1)；(2)；(3)． 22．如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【高分突破】 一：单选题 23．平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则的长度为（       ） A． B． C． D． 24．在平行六面体中，其中，，，则（       ） A．25 B．5 C．14 D． 25．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，