1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 【考点梳理】 考点一：空间向量中的距离问题 1.点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 2.点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为． 考点二：空间向量中的夹角问题 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型归纳】 题型一：点到平面的距离的向量求法 1．（2022·浙江省淳安中学高二期中）如图，已知三棱锥，平面，，，，.、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 2．（2022·江苏常州·高二期中）如图，底面为正方形的平行六面体的各个棱的长度均为，平面平面分别是的中点. (1)证明：平面； (2)求点C到面的距离. 题型二：平行平面的距离的向量求法 3．（2021·全国·高二课时练习）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， （1）证明：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离． 4．（2022·全国·高二）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点． (1)求证：平面平面EFG； (2)求平面与平面EFG间的距离． 题型三：异面直线夹角的向量求法 5．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图所示，在四棱维中，面，且PA=AB=BC==2. (1)求与所成的角； (2)求直线与面所成的角的余弦值. 6．（2022·江西南昌·高二期中（理））三棱锥中，，平面平面ABC，，，E，F分別为PC和PB的中点，平面平面． (1)证明：直线； (2)设M是直线l上一点，且直线PB与平面AEF所成的角为，直线PM与直线EF所成的角为，满足，求的值． 题型四：线面角的向量求法 7．（2022·浙江温州·高二期末）如图，在三棱锥中，，点O､M分别是､的中点，底面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 8．（2022·江苏盐城·高二期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，点E为线段PC的中点，且． (1)证明：； (2)求直线PB与平面ADE所成角的正弦值． 题型五：面面角的向量 9．（2022·江苏徐州·高二期末）如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，. (1)求证：平面AEG； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由. 10．（2022·浙江省长兴中学高二期末）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在线段上，. (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为，求二面角的平面角的余弦值. 题型六：空间向量的存在性问题 11．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，四边形是菱形，，平面平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在点使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 12．（2022·全国·高二）已知三棱柱中，，，，． (1)求证：平面平面ABC； (2)若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由． 【双基达标】 一、单选题 13．（2022·江苏徐州·高二期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（       ） A． B． C． D． 14．（2022·浙江丽水·高二期末）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 15．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点，则和所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 16．（2022·江苏连云港·高二期末）如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6，，PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD． (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)求平面PAB与平面