1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 【考点梳理】 考点一：空间中点、直线和平面的向量表示 1.空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2.空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，① 把＝a代入①式得 ＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3.空间中平面的向量表示式 平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们称为空间平面ABC的向量表示式． 考点二　空间中平面的法向量 平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 考点三：　空间中直线、平面的平行 1.线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2.线面平行的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 面面平行的向量表示 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 考点四：空间中直线、平面的垂直 1.线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2.　线面垂直的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 知识点三　面面垂直的向量表示 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【题型归纳】 题型一：平面的法向量的求法 1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线过点，平行于向量，平面经过直线和点，则平面的一个法向量的坐标为（       ） A． B． C． D． 2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面经过点和，是平面的法向量，则实数（       ） A．3 B． C． D． 3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（       ） A． B． C． D． 题型二：空间中点、直线和平面的向量表示 4．（2021·全国·高二专题练习）已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（       ） A．②④ B．②③ C．①③ D．①② 5．（2022·全国·高二）已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　） A．(1，－1,1) B．(1,3，) C．(1，－3，) D．(－1,3，－) 6．（2022·四川·棠湖中学高二）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是,,,四点共面的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型三：空间中直线、平面的平行 7．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（       ） A．平面B．平面C．D． 8．（2022·山东淄博·高二期末）在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内 9．（2022·安徽宣城·高二期末）如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（       ） A．当时，平面 B．当时，平面 C．当为直角三角形时， D．当的面积最小时， 题型四：空间中直线、平面的垂直 10．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知、分别为直线、的方向向量（、不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中不正确的是（       ） A．； B．； C． D． 11．（2021·安徽·高二期中）给出以下命题，其中正确的是（       ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面､的法向量分别为，，则 D．平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则 12．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（       ） A．，，（）B．存在实数k，使得 C．D． 题型五：空间向量研究直线、平面的位置综合问题 13．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为