1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 【考点梳理】 考点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 考点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 考点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 考点四　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 考点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 考点六　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【题型归纳】 题型一：空间向量的正交分解问题 1．（2021·全国·高二期中）已知向量是空间向量的一组基底，向量，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2021·山东枣庄·高二期中）已知，，，若，，共面，则z的值是（       ） A． B．5 C． D．9 3．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）已知向量，则与共线的一个单位向量（       ） A． B． C． D． 题型二：空间向量的坐标运算问题 4．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量，则（       ） A． B． C． D． 5．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知空间向量，，，则（       ） A． B． C． D． 6．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（       ） A．4 B． C．2 D．不确定 题型三：空间向量的模长的坐标问题 7．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二（理））设、，向量，，且，，则（          ） A． B． C． D． 8．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二（理））若向量，，则（       ） A． B． C． D． 9．（2021·全国·高二）已知向量，，若与夹角为，则的值为（       ） A． B． C．－1 D．1 题型四：空间向量的平行的坐标表示问题 10．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量，，若，则实数的值为（       ） A．2 B．4 C． D． 11．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，则m的值为（       ） A．－2 B．2 C． D． 12．（2022·江西·南昌十中高二期中（理））设，向量，且，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：空间向量的垂直的坐标表示问题 13．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（       ） A．1 B． C． D．0 14．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（