专题1.8 《勾股定理》全章复习与巩固（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.8 《勾股定理》全章复习与巩固（知识讲解） （说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习了二次根式后进行复习或选择性进行复习） 【学习目标】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【要点梳理】 要点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】 类型一、运用勾股定理及逆定理求值或证明 1、已知：中，，，BC边上的高，求BC． 【答案】4或14 【分析】分情况讨论，如图所示：利用勾股定理分别求出的长，从而得出的长度． 解：①∵在Rt△ABD中， ∴BD＝， 在Rt△ADC中，CD＝， 故BC＝BD＋CD＝14； ②在Rt△ABD中， BD＝， 在Rt△ADC中，CD＝， 故BC＝BD−CD＝4， ∴BC的长为或4或14． 【点拨】此题考查了勾股定理，求解关键是利用勾股定理分别求出BD和CD，注意不要漏解． 举一反三： 【变式1】已知如图，在中，，D在CB的延长线上． 求证：（1）； （2） 若D在CB上，结论如何，试证明你的结论． 【答案】（1）见详解；（2），理由见详解 【分析】 （1）过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE＝CE，利用勾股定理列式表示出DE2、CE2，然后相减即可得解； （2）根据（1）的求解思路列式整理即可． 解：（1）证明：如图，过点A作AE⊥BC于E， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 在Rt△ADE中，AD2−AE2＝DE2， 在Rt△ACE中，AC2−AE2＝CE2， 两式相减得，AD2−AC2＝DE2−CE2＝（DE−CE）（DE＋CE）＝（DE−BE）CD＝BD•CD， 即AD2−AB2＝BD•CD； （2）结论为：AB2−AD2＝BD•CD． 证明如下：与（1）同理可得，AD2−AE2＝DE2，AC2−AE2＝CE2， ∵点D在CB上， ∴AB＞AD，即：AC＞AD， ∴AC2−AD2＝CE2−DE2＝（CE−DE）（CE＋DE）＝（BE−DE）（CE＋DE）＝BD•CD， ∴AC2−AD2＝BD•CD， 即AB2−AD2＝BD•CD． 【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【变式2】如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：． 【分析】连结BD，易证，即BD=AE、AC=BC．又可证明出∠ADB=90∘，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的． 解：证明：如图，连结BD ， ∵， ∴． ∴在△EAC和△DBC中，， ∴．        ∴ ． 又∵， ∴ ． ∴ 在中，， ∴． ∵ 在中，， ∴ ． 【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键． 2、如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块