专题1.17 三角形几何模型-双角平分线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.17 三角形几何模型-双角平分线（知识讲解） 模型1：内角平分线+内角平分线模型 如图一 模型2：内角平分线+外角平分线模型 如图二 模型三：外角平分线+外角平分线模型 如图三 模型四：飞镖+角平分线模型 1、 飞镖模型内角关系模型： 图四 2、 飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型： 图五 类型一、内角平分线+内角平分线模型 1．在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规律，理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识． 如图1，中，分别平分，且相交于点“勤奋小组”的同学发现:．证明过程如下: 证明:如图2，连接并延长， 则 (依据1) 与分别平分 又，(依据2) ． 依据1是 ___，依据2是 __； 如图3，在图1的基础上，作的角平分线交于点试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的内角和等于；（2） 【分析】 （1）根据三角形外角的性质和三角形的内角和定理即可得出结论； （2）连接并延长，交于点根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得， ，然后根据、等量代换和三角形的内角和定理即可求出结论． 解：（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得； 由三角形的内角和等于可得 故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的内角和等于； （2）如图，连接并延长，交于点 是的平分线， 同理 【点拨】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质和角平分线的定义是解决此题的关键． 举一反三： 【变式1】如图，在中，，，分别平分和，，相交于点F，求的度数． 【答案】45° 【分析】根据三角形角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理即可求解． 解：在中，， ，分别平分和， ∴∠AFE=45°． 【点拨】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 【变式2】已知△ABC中，∠A=50°． （1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °． （2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °． （3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）． （4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值． 【答案】(1)、115°；(2)、；(3)、﹣×130°；(4)、n=13． 解：试题分析：(1)、△ABC中，已知∠A即可得到∠ABC与∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理即可求解；(2)、先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C； (3)、先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠On﹣1BC+∠On﹣1CB，即可求出∠BOn﹣1C．(4)、依据(3)的结论即可求出n的值． 解：(1)、∵△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线． ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°， ∴△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=115° (2)、∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点， ∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=（）°， ∴∠BO2C=180°﹣（）°=（）°． (3)、∵点On﹣1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点， ∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°， ∴∠BOn﹣1C=180°﹣×130°； (4)、∵∠BOn﹣1C=60°， ∴180°﹣×130°=60°，解得n=13． 考点：三角形内角和定理． 类型二、内角平分线+外角平分线模型 2．阅读下面内容，并解答问题． 探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律 在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果． 规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半． 规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻