专题1.13 角的角平分线的性质（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.13 角的角平分线的性质（知识讲解） 【学习目标】 1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题. 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题． 【要点梳理】 要点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言：∵DC平分∠ADB , 又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F， ∴PE=PF 特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件 要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F， 又∵PE=PF ∴DC平分∠ADB , 即点P在∠ADB的平分线上。 要点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）作射线OC. ∴射线OC即为所求. 要点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心， 三角形内心到这个三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 【典型例题】 类型一、角的平分线的性质定理及证明 1．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°． 【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可． 解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N， ∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°， ∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°， 在Rt△MCD和Rt△NCE中， ， ∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL）， ∴∠MCD