1.3 一元二次方程的根与系数的关系-2022年暑假新九年级数学上册教材预习辅导讲义（苏科版）

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 教材知识总结 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 【点拨】利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定的值； ③计算的值； ④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【点拨】（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 【点拨】（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 看例题，涨知识 【例题1】设方程两个根为、，则（       ） A． B． C． D． 【例题2】若、是一元二次方程的两根，则的值是（       ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 【例题3】已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（       ） A． B．0 C． D． 课后习题巩固一下 一、单选题 1．若关于x的方程有一个根是2，则另一个根是（       ） A．6 B．3 C． D． 2．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（       ） A．2 B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式(m+n)2022的值为（       ） A．1 B．0 C． D． 4．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣4，2，小明看错了一次项系数p，得到方程两个根是4，﹣3，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣8＝0 B．x2+2x﹣12＝0 C．x2﹣2x﹣12＝0 D．x2﹣2x﹣8＝0 5．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（       ） A．1 B．2 C． D．3 6．关于方程的根的说法中，正确的是（       ） A．没有实数根 B．两实数根的和为 C．有两个不相等的实数根 D．两实数根的积为 二、填空题 7．已知m，n是一元二次方程的两个根，则_______． 8．写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是，这个一元二次方程是________． 9．已知方程的两根分别是，，则的值为_________． 10．若一元二次方程的两个实数根为a，b，则的值为_______． 三、解答题 11．已知，关于x的一元二次方程， (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程两根的绝对值相等，求a的值． 12．已知是一元二次方程的两个根，求的值． 13．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，若，求m的值． 14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，满足，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3