1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（学案）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 【学习目标】 课程目标 学科素养 1.理解全称量词命题和存在量词命题的否定的意义. 2. 会对全称量词命题和存在量词命题进行否定.（重点） 1、逻辑推理 2、数学运算 【自主学习】 一．全称量词命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x)   全称量词命题的否定是 ______________ 二．存在量词命题的否定 p ¬p 结论 存在量词命题∃x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是 ______________ 三．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 【小试牛刀】 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．(　　) (2)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) (4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．(　　) 【经典例题】 题型一 全称量词命题的否定 点拨： 1.对全称量词命题否定有两个方面 （1）改变量词：把全称量词换为存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． （2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2.若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题. 例1　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等； (3)每个三角形至少有两个锐角． 【跟踪训练】1 写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)∀x∈R，|x|≥x； (3)∀x∈R＋，为正数． 题型二 存在量词命题的否定 点拨： 1.对存在量词命题否定有两个方面 （1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． （2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2.由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断. 例2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3. 【跟踪训练】2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，使x2＋x＋<0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 题型三 全称量词命题与存在量词命题的综合应用 例3 (1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围； (2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围． 【跟踪训练】3 由命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 【当堂达标】 1.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C.∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0 D.∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0 2.(多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是(　　) A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0 B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆 C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0 3..命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________． 4.写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)菱形是平行四边形； (2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0. 5.已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 【课堂小结】 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反. 【参考答案】 【自主学习】 ∃x0∈M，¬p(x0) 存在量词命题 ∀x∈M，¬p(x) 全称量词命题 【小试牛刀