专题1.1 空间向量及其运算（5类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1 空间向量及其运算 【考点1：空间向量的线性运算】 1 【考点2：空间向量的共线定理】 3 【考点3：空间向量的共面定理】 5 【考点4：空间向量的数量积运算】 5 【考点5：空间向量的投影向量】 8 【考点1：空间向量的线性运算】 【知识点：空间向量的线性运算】 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 1．（2021秋•东莞市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解． 【解答】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1为平行四面体， ∴． 故选：B． 2．（2021秋•兰山区校级月考）如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则||＝　　；||＝　　． 【分析】取BD的中点H，连结AH，CH，由AH⊥BD，CH⊥BD，得BD⊥平面ACH，从而AC⊥BD，过C作CG∥BD，使CG＝EF，则，从而||＝||＝||，再求其模即可；根据点E，F分别为棱AB，AD的中点，则 ，再根据向量的减法法则化简，求出其模即可． 【解答】解：取BD的中点H，连结AH，CH， ∵四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点， ∴AH⊥BD，CH⊥BD， ∴AH∩CH＝H，∴BD⊥平面ACH， ∵AC⊂平面AHC，∴AC⊥BD， 过C作CG∥BD，使CG＝EF，则， ∴AC⊥CG，且AC＝2，CG1， ∴||＝||＝||． ∵点E，F分别为棱AB，AD的中点， ∴， ∴||＝||， 则||＝||＝||＝||． 故答案为：，． 3．（2022春•河南月考）如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足3，P是CM上的点，且，设，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】利用向量运算法则运算可得结果． 【解答】解：由3，得3， 所以（）． 故选：B． 【考点2：空间向量的共线定理】 【知识点：共线定理】 对于空间中任意的两个向量，若存在实数，使得，则与共线. 1．（2021秋•铁东区校级期末）已知{，，}是空间的一个基底，若，，若，则（　　） A．﹣3 B． C．3 D． 【分析】由，可得λ，根据空间向量基本定理列方程组可求得x，y的值，从而可得结论． 【解答】解：， （x+3）（x﹣y）（3﹣y）， 因为，所以λ， 即，解得， 所以3． 故选：C． 2．（2022春•市中区校级月考）已知空间的一组基底，若与共线，则x+y的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．0 【分析】根据与共线可得出，再根据为基底，从而根据空间向量基本定理可得出x+y的值． 【解答】解：因为与共线，空间的一组基底， 所以， 所以x+y＝0． 故选：D． 3．（2022春•天宁区校级期中）设，是两个不共线的空间向量，若2，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为　　． 【分析】先由求出，在根据A，C，D三点共线，得到，从而得到2﹣5k＝0，解出k即可． 【解答】解：∵2，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∴2﹣5k＝0，∴k， 故答案为：． 4．（2022春•张掖期中）对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是 　　（填序号）． ①； ②5； ③； ④． 【分析】由空间共线向量定理即可求解． 【解答】解：对于①，∵（t≠0）， ∴（t≠0），∴（t≠0）， ∴点P、A、B共线，故①正确； 对于②，∵5，∴5，∴共线， ∴P、O、B共线，点P、A、B不一定共线，故②错误； 对于③，∵（t≠0），∴（t≠0）， ∴（t≠0），∴共线，∴P、A、B共线，故③正确； 对于④，∵，∴， ∴，∴， ∴，∴BP，OA平行或重合，故BP、OA平行时，点P、A、B不共线，故④错误． 故选：①③． 【考点3：空间向量的共面定理】 【知识点：共面定理】 两个不共线的向量，若存在唯一的有序实数对（x，y），使得，则向量与向量，共面. 1．（2022春•常州期中）对于空间任意一点O，若，则A，B，C，P四点（　　） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与O点位置有关 【分析】由共面向量基本定理、空间向量基本定理即可得出． 【解答】解：∵，可得1， ∴四点P、A、B、C必共面． 故选：B． 2．（2022春•临河区校级月考）有四个命题 ①若，则共面 ②若共面，则 ③若，则M、N、A、B四点共面 ④若M、N、A、B四点共面，则 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】在①中，由平面向量基本定理得一定在同一平面内；在②中，如果共线，就不一定能用来表示；在③中，若，则三向量在同一平面内；在④中，若M、N、A、B共线，则不成立． 【解答】