专题1.4 认识三角形-三角形三条重要线段（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.4 认识三角形-三角形三条重要线段（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形三条重要线段； 2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算； 3.对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用； 4.与三角形有关的几何模型形成初步认识，并能简单加以运用。 【知识要点】 知识点一、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 图一 图二 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 特别说明：如图二 （1）三角形的高是线段；分别为AD、BE、CF。 （2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 知识点二、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图三 图四 特别说明： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四： 知识点三、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 图五 图六 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线； 图七 知识点四、三角形的稳定性    三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【典型例题】 类型一、三角形的高 1．如图，已知， 求作：（1）边上的高；（2）边上的高． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】 （1）过点B向作垂线即可； （2）过点A向BC的延长线作垂线即可． 解：（1）如图，垂线BD即为边上的高； （2）如图，垂线AE即为边上的高． 【点拨】此题考查作三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边作垂线，从顶点到垂足之间的线段即为该边的高线，掌握三角形高线的定义是解题的关键． 举一反三： 【变式1】下列各图中，正确画出AC边上的高的是（       ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义，过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上，然后结合各选项图形解答． 解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上， 所以正确画出AC边上的高的是D选项， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键． 【变式2】如图，，则线段___