专题01 勾股定理的基本应用-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题01 勾股定理的基本应用 题型一 求面积 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：设大正方形的边长为， 则， ， ， 解得， 小正方形的面积是：， 故选：． 2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为6、10、24，则正方形的面积为　　 A．4 B．6 C．8 D．12 【解答】解：由题意：，， 正方形、、的面积依次为6、10、24， ， ． 故选：． 3．如图，点是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形．设，两个正方形的面积和，则图中的面积为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：设，， 由题意得：，， ， ， ， 的面积． 图中的面积为4． 故选：． 4．正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：在图中标上字母，如图所示． 正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ，， ． 观察，发现规律：，，，，， ． 当时，， 故选：． 5．如图，以正方形的边为直径作一个半圆，点是半圆上一个动点，分别以线段、为边各自向外作一个正方形，其面积分别为和，若正方形的面积为10，随点的运动的值为　　 A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定 【解答】解：为半圆的直径， ， ， ，， ． 故选：． 6．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； ，， 四边形的面积是； 故③正确； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ． 故③④⑤都正确． 故选：． 7．如图，中，，平分，交于点，，，则的面积是　　 A．18 B．24 C．36 D．72 【解答】解：作于，如图， 平分，，， ， ． 故选：． 8．如图，中，，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、，则等于　　 A．60 B．80 C．90 D．120 【解答】解：连接，过点作于点， ，， 而， ， ， 故； 同理， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，，三点共线， 又，， 而， ， ， 同理可证， ， 同理可证，， ， 综上所证：． 故选：． 9．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为4和10，则的面积为　14　． 【解答】解：如图， 、、都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 的面积为14． 故答案为14． 10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都在矩形的边上，则空白部分的面积为 　60　． 【解答】解：如图，延长交于点，延长交于点， 所以，四边形是正方形， ，，， ， ，， 因此，矩形的面积为， 空白部分的面积为， 故答案为：60． 11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是　4　． 【解答】解：如图，勾，弦弦， 股， 小正方形的边长， 小正方形的面积． 故答案是：4． 12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为4、6、18，则正方形的面积为　8　． 【解答】解：由题意：，， 正方形、、的面积依次为4、6、18， ， ． 故答案为：8． 13．如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 　6　． 【解答】解：如图，作交的延长线于点，交的延长线于点， 四边形、、都是正方形，且正方形、的面积分别为9、4， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； ， ，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， ， 阴影部分的总面积为6． 14．如图，正方形、、的面积分别为25、9、16，、、的面积分别为、、，则　18　． 【解答】解：，，且， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， ． 故答案为：18． 题型二 求线段长 15．一个大正方形，被两条线