专题05 空间向量与立体几何（重难点突破）-【课后辅导专用】2022年暑期高一升高二数学辅导讲义（新教材人教A版2019）

专题05 空间向量与立体几何 知识网络 重难点突破 知识点一 空间向量的概念、性质与运算 1、空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2. 数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. (2)空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 3. 直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 5．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)＝λ (λ∈R); (2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)； (3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)． 6．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1) ＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3) ∥ (或∥或∥ )． 例1. （1）、（2022·全国·模拟预测（理））已知向量，，，若，则实数（       ） A．－2 B．2 C．1 D．－1 （2）、（2020·福建三明·模拟预测）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ） A． B． C． D． （3）、（2020·四川遂宁·三模（理））如图，平行六面体中，，，，，，则的长为_____． （4）、（2022·浙江·玉环市玉城中学高二期中）（多选题）下列四个结论正确的有 （       ） A．对于任意两个向量，若，则或或 B．若空间中点 满足，则三点共线 C．空间中任意三个向量 都满足 D．对于任意两个向量， 都有 【变式训练1-1】、（2022·河南郑州·二模（理））已知向量 ，且 ，则实数 ________________． 【变式训练1-2】、（2021·全国高二单元测试）已知向量和平行，则为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】、（2018·上海·华师大二附中三模）已知向量，，则________ 【变式训练1-4】、（2022·江苏·高二课时练习）（多选题）若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（       ） A． B． C． D． 知识点二 求异面直线形成的角 1. 异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0，π) 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ 例2．（1）、（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． （2）、（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ） A．