假期作业（二十八） 空间直线、平面的垂直-【快乐假期】2022高一数学暑假大作业（新教材，人教B版）

　　 二十八、空间直线、 平面的垂直 　　　　　　　 １．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一条直线与一 个平面内的 　 　　　　都垂 直,则该直线与 此平面垂直 a,b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b ü þ ý ï ïï ï ï ⇒l⊥α 性 质 定 理 垂直于同一个 平面的两条直 线　　　　 a⊥α b⊥α}⇒a∥b ２．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另 一个平面的 　 　　　,则这两 个 平 面 互 相 垂直 l⊂β l⊥α}⇒α⊥β 性 质 定 理 两个平面互相 垂直,则一个平 面内垂直于 　 　　　的直线 垂直于另一个 平面 α⊥β l⊂β α∩β＝a l⊥a ü þ ý ï ïï ï ï ⇒l⊥α ３．异面直线所成的角 (１)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中 任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所 成的　　　　　　叫做异面直线a与b所 成的角． (２)范围:０,π２ æ è ç ù û úú． ４．直线与平面所成的角 (１)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射 影所成的　　　　,叫做这条直线和这个 平面所成的角,如图,　　　　就是斜线 AP 与平面α所成的角． (２)线面角θ的范围:θ∈ ０,π２ é ë êê ù û úú． １．直线n⊥平面α,n∥l,直线m⊂α,则l、m 的 位置关系是 (　　) A．相交　　　　　　　 B．异面 C．平行 D．垂直 ２．若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 (　　) A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 ３．在空间四边形ABCD 中,平面ABD⊥平面 BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ４．如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四 棱柱ABCD－A１B１C１D１ 中,AA１＝２AB＝ ２,则异面直线A１B 与AD１ 所成角的余弦值 为 (　　) A．１５ B． ２ ５ C．３５ D． ４ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １６ ５．(多选题)α,β是两个平面,m,n 是两条直 线,有下列四个命题,其中正确的命题是 (　　) A．如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β B．如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n C．如果α∥β,m⊂α,那么m∥β D．如果m∥n,α∥β,那么m 与α 所成的角 和n 与β所成的角相等 ６．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,１０)(多选题)如图,在 正方体中,O 为底面的中心,P 为所在棱的 中点,M,N 为正方体的顶点．则满足 MN⊥ OP 的是 (　　) ７．如图,在长方体ABCD－A１B１C１D１ 中,AB ＝BC ＝ ２,AA１ ＝ １,则 AC１ 与 平 面 A１B１C１D１ 所成角的正弦值为　　　　． ８．如图,在棱长为２的正方体ABＧ CD－A１B１C１D１ 中,E 为BC 的 中点,点P 在线段D１E 上．点P 到直线CC１ 的距离的最小值为　　　　． ９．(２０２１􀅰全国甲卷(文), １９)已知直三棱柱 ABC － A１B１C１ 中, 侧 面 AA１B１B 为 正 方 形,AB ＝BC＝２,E,F 分别为 AC 和CC１ 的中点,BF⊥A１B１． (１)求三棱锥F－EBC的体积; (２)已知 D 为棱A１B１ 上的点,证明:BF ⊥DE． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋