1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识梳理 1.空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 2.空间向量的运算与坐标的关系 空间向量a，b，其坐标形式为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) 减法 a-b a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2) 数乘 λa λa=(λx1，λy1，λz1) 数量积 a·b a·b=x1x2+y1y2+z1z2 特别地，（1）如果μ，v是两个实数，那么μa+vb=(μx1+vx2，μy1+vy2，μz1+vz2). （2）|a|=. （3）cos<a，b>=(a≠0，b≠0). 3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有a∥b⇔(其中x1y1z1≠0)； a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. 4.空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy，yOz，zOx叫做坐标平面，三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限，如图所示. 5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 =(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)，所以=(x2，y2，z2)-(x1，y1，z1)=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)， AB=||=. 设线段AB的中点为M(x，y，z)，则=(x，y，z)， )=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) =，所以点M的坐标为. 常见考点 考点一 空间向量的坐标表示 典例1．已知向量是空间向量的一组基底，向量，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间向量基本定理求解. 【详解】 解：因为向量在基底下的坐标为，，， 则， 设向量在基底，，下的坐标为，，， 则， 所以，解得， 所以向量在基底，，下的坐标为． 故选：． 变式1-1．设是空间中的一个单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意化简可得，即得解. 【详解】 解： 因为， 又，，， ，14，， 故选：A． 变式1-2．已知i，j，k是空间的标准正交基底，且=-i+j-k，则的坐标为 A．(-1，1，-1) B．(-i，j，-k) C．(1，-1，-1) D．不确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间向量知识直接求解． 【详解】 根据空间向量坐标的定义，知=(-1，1，-1). 故选A． 【点睛】 本题考查空间向量坐标的定义，注意区分的坐标与点B坐标，属于基础题. 变式1-3．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据空面向量运算法则，利用 ，即可得出． 【详解】 由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1， 则 故选C． 【点睛】 本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 考点二 空间向量的坐标运算 典例2．若，则=（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用向量线性关系的坐标运算求即可. 【详解】 . 故选：D 变式2-1．已知，，则等于（       ） A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得，再利用数量积的坐标表示即得. 【详解】 ∵，， ∴， ∴. 故选：C. 变式2-2．已知，且，则的值是（       ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【解析】